или
Формула (204) и является основной формулой всей теории самосопряженных операторов. Мы пришли к ней, исходя из некоторого разложения единицы 
Всякому разложению единицы соответствует определенный самосопряженный оператор А согласно формуле (204). Можно доказать и обратную теорему.
Теорема. Для любого заданного самосопряженного оператора А существует разложение единицы такое, что А выражается формулой (204).
Доказательство этой теоремы довольно сложно, и, чтобы не прерывать изложения, мы приведем его в конце настоящего параграфа. В дальнейшем мы докажем формулу, согласно которой можно определить по заданному самосопряженному оператору А. Из этой формулы будет следовать, что различным разложениям единицы соответствуют и различные операторы А. В силу теоремы формула (204) представляет собой общую форму ограниченных самосопряженных операторов. Если мы умножим сумму (191) при 
на какой-либо элемент у и перейдем к пределу, то получим выражение скалярного произведения 
в виде интеграла Стилтьеса
Напомним, что если отлично от нуля, то правую часть надо понимать как следующую сумму:
где последний интеграл есть обычный интеграл Стилтьеса. Мы могли бы принять формулу (206) за основную вместо формулы (204), так как оператор А вполне определяется заданием билинейного функционала. Напомним, что скалярное произведение 
выражается линейно через четыре скалярных произведения вида 
В силу 
при 
не убывает при возрастании X, и, таким образом, функция 
стоящая под знаком дифференциала (вообще говоря, комплексная), представляет собой функцию ограниченной вариации от X. Если положим 
то получим выражение квадратичного функционала в виде интеграла Стилтьеса
В данном случае под знаком дифференциала стоит возрастающая
Семейство проекторов 
называют обычно спектральной пункцией самосопряженного оператора А, определяемого формулой (204). Покажем, что числа 
определенные выше, совпадают с границами оператора А, которые мы определили в [126]. Напишем квадратичный функционал 
в виде
Под знаком дифференциала стоит неубывающая функция X. Заменяя X сначала на 
и затем на 
приходим к неравенствам 
или, в силу 
к неравенствам
Остается показать, что 
суть точные границы для 
при 
Покажем, например, что 
есть точная верхняя граница. Разность 
, где 
— любое заданное положительное число, есть проектор, отличный от нулевого оператора. Положим, что нормированный элемент 
принадлежит подпространству, соответствующему эгому проектору. При этом 
и тем более 
при 
. Мы можем, таким образом, написать, заменяя в (208) множитель X на 
и считая 
откуда, ввиду произвольности 
, и следует, что 
есть точная верхняя граница 
при 
Выведем еще одну формулу. Умножим обе части равенства
на 
считая, что X есть одна из точек деления 
При этом, силу (180), будем иметь 
при 
при 
и, таким образом, получим
и 
переходя к пределу, будем иметь формулу
и аналогичную формулу для билинейного функционала
вещественны, то оператор 
как линейная комбинация проекторов с вещественными коэффициентами есть самосопряженный оператор, и предел 
при беспредельном измельчании частичных промежутков есть также самосопряженный оператор. Полагая 
получаем некоторый самосопряженный оператор А:
