211. Об инвариантности непрерывной части ядра спектра при симметричных расширениях.

В этом параграфе мы будем предполагать, что замкнутый симметричный оператор имеет конечные индексы дефекта , и будем рассматривать его замкнутые симметричные расширения.

Начнем с доказательства простой леммы.

Лемма. Если U и W — два подпространства, из которых второе конечномерно, то

т. е. множество элементов где есть также подпространство.

Мы можем, очевидно, считать, что W не имеет общих с U элементов (кроме нулевого). Пусть базис W. Представим каждый из его элементов в виде: где . Линейную оболочку обозначим через Множество V можно представить в виде ортогональной суммы двух подпространств:

и лемма доказана.

Теорема. Непрерывная часть ядра спектра любого замкнутого симметричного расширения А оператора А та же, что и у А.

Мы видели, что при расширении А непрерывная часть ядра спектра на может уменьшиться [208]. Предположим, что она расширилась, т. е. что есть такое вещественное число которое не входит в непрерывную часть ядра спектра А, но содержится в непрерывной части ядра для А. Для подпространство, a — незамкнутый линеал.

Принимая во внимание формулу для и конечность индексов дефекта для А, можем написать

где - конечномерное подпространство. Но последняя формула и незамкнутость противоречат доказанной выше лемме.