19. Свойства (общего) интеграла Стилтьеса.

Общий интеграл Стилтьеса может быть получен, как мы видели, как предел сумм при некотором выборе последовательности подразделений. При этом, если имеют определенный предел, и есть продолжение ЬП) то и имеют тот же предел. Мы можем таким образом, пользуясь суммами доказывать свойства общего интеграла Стилтьеса так же, как это мы делали для интеграла Римана и первоначального интеграла Стилтьеса. Мы иведем эти свойства с некоторыми

дополнениями. Во всем дальнейшем функции f(х) считаются ограниченными в промежутке интегрирования и, кроме того, функция считается неубывающей.

I. Если — постоянные, то

причем из существования интегралов, стоящих в правой части, следует существование интеграла, стоящего в левой части.

Для доказательства достаточно взять какую-нибудь регулярную последовательность для функции g(х).

II. Если - неубывающие ограниченные функции и положительные постоянные, то

причем из существования интегралов, стоящих справа следует существование интеграла, стоящего слева, и наоборот.

Пусть регулярная последовательность подразделений для Последовательность будет регулярной последовательностью для всех функций . Мы имеем очевидное равенство

где относятся к интегралу, стоящему в левой части (103), a к интегралам, стоящим справа. Если интегралы, стоящие в правой части формулы (103), существуют, то и, следовательно, т. е. существует интеграл, стоящий слева. Положим теперь, что существует этот последний интеграл. При этом должна существовать такая последовательность подразделений ЬПУ что . Слагаемые, стоящие в правой части формулы (104), неотрицательны и, следовательно, при , т. е. существуют интегралы, стоящие в правой части формулы (103). Сама формула (103) вытекает непосредственно из аналогичного свойства для конечных сумм и перехода к пределу.

III. Если промежуток разбивается наконечное число промежутков без общих точек,

причем из существования интегралов в правой чйсти следует существование интеграла в левой части и наоборот. Положим, что существует интеграл, стоящий слева. В силу теоремы 1 имеется такая последовательность подразделений А, что Обозначим

через В подразделение А на части и положим Имеем, очевидно, ибо Сумма вида (16), которая представляет может быть разбита на неотрицательных слагаемых, каждое из которых представляет собой аналогичную сумму для некоторого и, поскольку вся сумма стремится к нулю, мы можем утверждать это же для отдельных слагаемых., т. е. существуют интегралы, стоящие в правой части формулы (105). Наоборот, положим, что существуют интегралы, стоящие справа. Для каждого из них имеется такая последовательность подразделений при которой разность стремится к нулю. Произведение этих последовательностей подразделений непосредственно приводит к такой последовательности подразделений всего промежутка , при которых аналогичная разность для интеграла, стоящего слева, также стремится к нулю. Отметим, что для первоначального интеграла Стильтьеса в третьей из формул (3) существование интегралов, стоящих справа, не влечет за собой существования интеграла, стоящего слева.

IV. Если на промежутке А мы имеем то

где — полное приращение функции на промежутке А, причем предполагается, что интеграл существует.

V. Если на промежутке А функции равномерно стремятся нрир и интегралы по существуют, то существует и интеграл от по и имеет место формула

Пусть интервалы подразделения некоторой регулярной последовательности подразделений для функции Рассмотрим суммы для функций и для функции , которая, очевидно, ограничена в силу равномерной сходимости

Точки мы берем во всех суммах одними и теми же. Составим разность

При любом заданном положительном существует, в силу равномерной сходимости такое N, что при и для любого из . Мы получим для разности при и при любом выборе S следующую оценку: Отсюда видно, что при стремятся к и притом равномерно относительно и выбора точек По условию функции интегрируемы по и, следовательно, каждая из сумм при беспредельном возрастании имеет предел, который

мы обозначим через Этот предел и является интегралом от по Покажем теперь, что последовательность чисел имеет предел.

В силу (106) имеем

По условию правая часть стремится к нулю при и тем самым имеет предел при который обозначим через А. Нам остается доказать, что при Оценим разность которую запишем в виде

Пусть задано . Сначала выберем настолько большим, чтобы иметь при любых

Далее при всех достаточно больших мы имеем для фиксированного выше , что . Таким образом, откуда, ввиду произвольности , и следует, что — А.

VI. Если существует интеграл от по (4 то существует и интеграл и имеет место неравенство

Введем обычное обозначение для функции Если оба числа положительны, то. для мы будем иметь те же точные границы. Если оба числа отрицательны, то для течной нижней и верхней границей будут служить числа и разность между точной верхней и точной нижней границей останется прежней. Наконец, если отрицательно, положительно, то для точной верхней границей будет служить наибольшее из чисел а точной нижней границей — число 0. Таким образом, во всех случаях разность между точной верхней и точной нижней границей для будет не больше чем для Поэтому, если для некоторой последовательности подразделений разность для стремится к нулю, то тем более она стремится к нулю при той же последовательности подразделений и для т. е. из существования интеграла от следует существование интеграла и для Неравенство (110) непосредственно получается из аналогичного неравенства для сумм предельным переходом.

VII. Если функции и интегрируемы по то и их произведение интегрируемо по Докажем сначала, что если интегрируемо по то интегрируемо по Предположим пока, что положительна, и составим суммы

Если первая из них стремится к нулю для некоторой последовательности подразделений, то, в силу ограниченности множителя и вторая стремится к нулю для той же последовательности подразделений. Таким образом, для положительной функции из интегрируемости следует интегрируемость

. Если неположительна, то ввиду ее ограниченности существует такая положительная постоянная, что функция положительна. Эта последняя функция, в силу свойства 1, очевидно, интегрируема, а, следовательно, по доказанному, интегрируема и функция откуда непосредственно вытекает и интегрируемость функции , которую можно представить как сумму интегрируемых функций: . Наконец, чтобы доказать интегрируемость достаточно представить ее в следующем виде:

Правая часть написанной формулы представляет собой сумму интегрируемых функций.