31. Точечные множества.

Приведем теперь некоторые понятия и результаты, касающиеся специально точечных множеств. Во II томе, при изложении теории кратного интеграла Римана, мы привели некоторые сведения, касающиеся точечных множеств на плоскости или в любом -мерном пространстве. Сейчас мы повторим сказанное во II томе с некоторыми существенными дополнениями. Для определенности будем говорить о точечных множествах на плоскости XY. Все сказанное легко можно распространить на случай прямой или любого -мерного пространства.

Рассмотрим плоскость, отнесенную к прямолинейным осям XY, и точечные множества на такой плоскости. Множество называется ограниченным, если расстояние входящих в него точек от начала меньше некоторого определенного положительного числа N, т. е. для всех точек множества Назовем -окрестностью точки замкнутый круг с центром Р и радиусом , т. е. множества точек удовлетворяющих условию Точка Р называется предельной точкой или точкой сгущения множества g, если любой -окрестности лочки Р принадлежит бесчисленное множество точек из g. Сама точка Р может или принадлежать или не принадлежать g. Если все предельные точки принадлежат g, то множество g называется замкнутым. Точка Р, принадлежащая множеству g, называется внутренней точкой g, если g принадлежат все точки некоторой -окрестности точки Р. Множество g называется открытым множеством, если все его точки суть внутренние точки. Замкнутые множества обычно обозначают буквой F с различными значками (французское слово ferme — замкнутый), а открытые множества — буквой О (ouvert — открытый).

Пустым множеством будем называть „множество", не содержащее ни одной точки. В дальнейших теоремах можем подразумевать и пустое множество, причем его надо считать и открытым и замкнутым. Границей открытого множества О называется множество точек Р, обладающих следующим свойством: сама точка Р не принадлежит О, но в любой -окрестности Р лежат точки, принадлежащие О. Поскольку О состоит из внутренних точек, можно утверждать, что в любой -окрестности Р лежит бесчисленное множество точек О, и можно определить границу открытого множества О как множество предельных точек О, не принадлежащих О. Нетрудно показать, что граница открытого множества есть замкнутое множество [II; 89].

Пусть g — некоторое множество. Присоединим к нему все его предельные точки и полученное множество обозначим через g. Эта операция называется замыканием множества g. Если g замкнутое множество, то Покажем, что g — замкнутое множество. Пусть Р — предельная точка для g, т. е. имеется бесконечная последовательность различных точек принадлежащих g, причем

. Если среди имеется бесчисленное множество точек, принадлежащих g, то Р является предельной точкой для g, а потому, в силу процесса замыкания, входит в g. Положим теперь, что все точки начиная с некоторого номера и, не принадлежат g. По условию, они входят в g и, следовательно, являются предельными точками для g. В любой окрестности точки Р находится бесчисленное множество точек и в любой окрестности каждой точки находится бесчисленное множество точек g. Отсюда непосредственно следует, что в любой -окрестности точки Р находится бесчисленное множество точек g, т. е. Р является предельной точкой для g, а потому, в силу процесса замыкания, должно входить в

Таким образом, мы показали, что множество g, полученное в результате замыкания любого заданного множества g, есть обязательно замкнутое множество. Отметим, что вся плоскость является одновременно и замкнутым и открытым множеством. Бесконечно далекую точку мы не причисляем к плоскости. Всякое конечное множество точек есть замкнутое множество. Оно вовсе не имеет предельных точек.

Введем теперь понятие расстояния между множествами. Назовем расстоянием между множествами точную нижнюю границу расстояний от всевозможных точек, принадлежащих до точек, принадлежащих . Если множества имеют хотя бы одну общую точку, то расстояние между ними равно нулю. Но расстояние между множествами может равняться нулю и в том случае, когда множества не имеют общих точек. Точки двух множеств, не имеющих общих точек, могут все же беспредельно сближаться. Этого не может быть, если данные два множества ограничены и замкнуты, и во II томе мы доказали следующую теорему: если ограниченные и замкнутые множества без общих точек, то расстояние между ними положительно, и найдется по крайней мере одна такая пара точек Р из и Q из что Из доказательства этой теоремы непосредственно следует, что она справедлива и в том случае, когда только одно из данных замкнутых множеств ограничено. В частности, расстояние любой заданной точки открытого множества до границы этого множества положительно.