148. Инвариантные подпространства.

Для исследования непростого непрерывного спектра и смешанного спектра, т. е. того случая, когда собственные элементы существуют, но не образуют аамкнутой системы элементов, нам надо предварительно ввести новое понятие и доказать некоторые факты.

Определение. Подпространство L называется инвариантным подпространством для оператора А при соблюдении следующего условия: если то и Иначе в этом случае говорят, что L приводит А.

Смысл этого определения состоит в следующем. Если L приводит А, то оператор А можно рассматривать отдельно как оператор, определенный в L, причем L или конечномерно, или его можно считать гильбертовым пространством. Иначе говоря, оператор А, определенный во всем , индуцирует оператор, определенный в L, который для элементов из L совпадает с А. Рассмотрение А на отдельных инвариантных подпространствах облегчает изучение А. Отметим, что если А — самосопряженный оператор в Н, то он будет, очевидно, самосопряженным оператором и в любом инвариантном для него подпространстве. В дальнейшем мы будем изучать инвариантные подпространства лишь для самосопряженных операторов.

Теорема 1. Если подпространство L приводит самосопряженный оператор А, то и дополнительное подпространство приводит А. Для того чтобы L приводило самосопряженный оператор А, необходимо и достаточно, чтобы проектор коммутировал с А, т. е.

Если L приводит А, то при . Нам надо доказать, что если то и Пусть z — любой элемент из L. При эгом и мы имеем

и высказанное выше утверждение доказано. Переходим к доказательству условия (265). Пишем очевидное равенство

Если L приводит А, то и, в силу только что доказанного, , и, следовательно, первое слагаемое правой части есть проекция при любом и необходимость (265) доказана. Пусть, наоборот, выполнено (265) и . При этом и теорема полностью доказана. Пользуясь теоремой 2 из получаем следующее непосредственное следствие доказанной теоремы:

Следствие. Для того чтобы подпространство L приводило А, необходимо и достаточно, чтобы оно приводило при любом

Теорема 2. Если попарно ортогональные подпространства приводят А, то и их ортогональная сумма

приводит А.

По условию теоремы А коммутирует со всеми и тем самым оно коммутирует с их суммой

что и доказывает теорему. Теорема 2 справедлива и в том случае когда А несамосопряженный оператор.

Отметим некоторые простые факты, связанные с понятием инвариантного подпространства самосопряженного оператора. Если проектор коммутирует с проектором PL, то L приводит и оператор индуцирует в L проектор в подпространство LM. Пусть далее L приводит А и тем самым приводит его спектральную функцию Обозначим через те операторы, которые индуцируются в L операторами А и Нетрудно проверить, что есть разложение единицы для Если в формуле то мы можем заменить А на на есть спектральная функция оператора определенного в L. В силу (223), L приводит и резольвенту R, оператора А, причем индуцирует в L резольвенту оператора Пусть операторы, индуцированные самосопряженным оператором и в инвариантном подпространстве L и дополнительном подпространстве разложение Имеем очевидные равенства:

Аналогичные формулы имеют место при разложении Я на конечное или счетное число попарно ортогональных подпространств, приводящих А. Все пространство Я и нулевое подпространство, т. е. подпространство, содержащее один нулевой элемент, являются тривиальными инвариантными подпространствами для любого оператора. Если оператор не имеет других инвариантных подпространств, то он называется неприводимым оператором. Всякое подпространство собственных элементов, соответствующих некоторому собственному значению оператора А, есть инвариантное подпространство для А, и в этом подпространстве оператор А сводится к умножению элемента на число Если какой-либо собственный элемент, соответствующий собственному значению то совокупность элементов вида , где а — любое комплексное число, есть также подпространство, приводящее А Если суть все подпространства собственных элементов самосопряженного оператора А, то их ортогональная сумма приводит А. Пусть А и операторы, индуцированные в операторами . Мы имеем, согласно (234) и (236),

т. е. сводится к сумме скачков функции в точках X, удовлетворяющих условию ХХ. Оператор индуцированный в подпространстве дополнительном для , представляет собой проектор в подпространство где подпространство, соответствующее проектору Любой элемент Я" ортогонален во всем если и для любого принадлежащего мы можем представить в виде разности

и, следовательно, непрерывно при всех X. Таким образом, если спектр А не чисто точечный, то подпространство содержит элементы, отличные от нулевого, спектральная функция непрерывна в нем, и оператор не имеет вовсе собственных значений в собственные элементы образуют замкнутую систему, и оператор А имеет чисто точечный спектр в .