60. Линеалы в L2.

Мы введем теперь некоторые новые понятия, связанные с .

Определение. Множество U элементов (функций из называется линеалом при соблюдении следующего условия: если то при любом выборе вещественного числа с и также принадлежат U.

Из этого определения непосредственно следует, что если то и при любом выборе чисел . Отметим некоторые примеры линеалов. Пусть М — множество ограниченных на -функций, т. е. таких функций, что для любой существует такое число что на . Множество М — линеал в .

Назовем функцию непрерывной на множестве при соблюдении следующего условия: если точки Р и принадлежат и . Множество функций из , непрерывных на , есть, очевидно, также линеал.

Теорема 1. Линеал непрерывных на ограниченном множестве функций из всюду плотен в Нам надо доказать, что для любого элемента из и любого заданного существует такая непрерывная на функция что

причем для определенности рассматривается, как и выше, двумерный случай. Мы имеем где положительная и отрицательная части Можно считать, что эти функции, принадлежащие и тем самым суммируемые на , принимают лишь конечные значения и являются предельными функциями возрастающей последовательности кусочно-постоянных функций и

с конечным числом значений, причем . Мы имеем [54]:

и

Далее из неравенства следует

и, вводя кусочно-постоянную функцию с конечным числом значений, мы можем, на основании (112), фиксировать такое , что , где любое заданное положительное число. Принимая во внимание, что нам достаточно доказать существование такой непрерывной функции что , где -любое заданное положительное число и заданная функция с конечным числом значений. Такая функция может быть представлена в виде

где — характеристические функции фиксированных множеств принадлежащих g. Если некоторые непрерывные на g функции и , то

и доказательство теоремы свелось к доказательству следующего утверждения: для характеристической функции любого измеримого множества принадлежащего g, и любого заданного существует такая непрерывная на g функция что Неизвестно, что для любого заданного существует такое замкнутое множество принадлежащее что . При этом

и, в силу неравенства достаточно доказать высказанное утверждение для характеристической функции ограниченного замкнутого множества F, принадлежащего g. Обозначим

через расстояние от точки Р до множества F. Мы имеем , где расстояние между Q и откуда следует непрерывность функции . Далее , тогда и только тогда, когда . Нетрудно видеть, что есть предел невозрастающей последовательности непрерывных на g функций:

так что [54] при и, следовательно, для любого заданного существует такое что причем непрерывна на g, и тем самым теорема доказана.

Следствие Ограничиваясь для определенности случаем плоскости, положим, что g есть замкнутый промежуток Для любой непрерывной на нем функции можно построить такой полином что где любое заданное положительное число. При этом

Принимая еще во внимание, где на А и доказанную теорему, можно утверждать, что линеал полиномов повсюду плотен в на А.

Вместо промежутка А мы могли бы взять и любое ограниченное замкнутое множество поскольку непрерывную на F функцию можно распространить с сохранением непрерывности на замкнутый промежуток А, содержащий При этом надо учесть, что

Следствие 2. Если любой полином, то, поскольку рациональные числа лежат повсюду плотно на оси вещественных чисел, существует такой полином с рациональными коэффициентами при любом заданном имеем на А или

Отсюда непосредственно следует, что полиномы с рациональными коэффициентами образуют множество повсюду плотное в на А или

Покажем, что множество таких полиномов счетно. Сопоставим каждому такому полиному положительное число: где — степень — общий наименьший

знаменатель его коэффициентов ( — берется положительным) и — сумма абсолютных значений числителей в его коэффициентах, приведенных к знаменателю (исключение: если , то сопоставляем ему а = 0). Нетрудно видеть, что число полиномов, которым соответствует одинаковое о, — конечно. Мы можем пронумеровать все полиномы с рациональными коэффициентами в порядке возрастания соответствующих им чисел о, причем порядок полиномов с одинаковым с безразличен. Мы видим, что существует счетное множество элементов повсюду плотное в т. е. на или F — сепарабельно.

Положим теперь, что — любое ограниченное измеримое множество. Возьмем его замыкание . Это — ограниченное замкнутое множество, и, как доказано, в на существует счетное повсюду плотное множество Это будут функции из на и, тем самым, и на . Покажем, что повсюду плотны и на . Возьмем некоторую функцию из на и продолжим ее нулем на . Она будет из и на , и тем самым при любом заданном в найдется такая функция из указанного счетного множества, что

и, тем более,

и т. д. Сепарабельность на любом измеримом множестве будет доказана ниже.

Докажем еще теорему, которая будет нам нужна в дальнейшем.

Теорема 2. Если уравнение замкнутости имеет место для всех функций, принадлежащих некоторому множеству К, плотному в то оно имеет место и для любой функции

Пусть какой-либо элемент и в — заданное положительное число. В силу того, что К плотно в существует в К такой элемент что По условию для имеет место уравнение замкнутости, и, следовательно, можно взять такой отрезок ряда Фурье функции относительно ортонормированной системы функций что

Принимая во внимание равенство и правило треугольника, получим откуда

Но разность отрезков ряда Фурье для есть отрезок ряда Фурье для разности и, в силу неравенства Бесселя, Окончательно откуда, в виду произвольности , следует, что замкнутость имеет место для функции и теорема доказана.

Все сказанное выше непосредственно обобщается и на случай комплексных функций из [58].