§ 2. Неограниченные операторы

184. Замкнутые операторы.

Мы переходим к рассмотрению дистрибутивных операторов, которые могут быть заданы не во всем Н и относительно которых не предполагаем ограниченности (конечности нормы). Введем обозначения, которыми будем пользоваться. Пусть А — дистрибутивный оператор, область его определения, которую мы всегда будем считать линеалом, и область значений А. В силу дистрибутивности А она также — линеал. Если А устанавливает биоднозначное соответствие между элементами , то на определен обратный оператор .

Необходимое и достаточное условие существования состоит в том, что уравнение имеет (на ) только нулевое решение [127].

Говорят, что операторы А и B совпадают (равны), и пишут

если совпадают их области определения и на всех элементах этой области Говорят, что оператор В является расширением оператора А, и пишут В, если входит в для Символ содержит и возможность равенства . Если при для линеал строго больше то пишут Отметим еще, что имеет смысл, если если Поскольку мы не предполагаем оператор везде заданным и ограниченным по норме, то не можем утверждать его непрерывность. Однако, анализируя основные свойства, доказанные нами для ограниченных операторов, можем убедиться в том, что многие из них являются следствием не непрерывности этих операторов, а более слабого их свойства — так называемой замкнутости. К определению и анализу этого весьма важного свойства линейных операторов мы и перейдем,

Определение. Оператор А называется замкнутым при соблюдении следующего условия: если и последовательности имеют пределы: то .

Если оператор не замкнут, то возникает вопрос о том, имеет ли он замкнутые расширения. Если имеются две последовательности элементов из , имеющие одинаковый предел и такие, что имеют различные пределы, то оператор А не до пускает, очевидно, замкнутых расширений. Если же при одинаковых пределах для мы не имеем ни в каких случаях различных пределов для то оператор A допускает замкнутые расширения и среди них есть минимальное замкнутое расширение, которое обозначают обычно через A. Опишем построение А. Если то включаем в область определения оператора А и полагаем . В силу указанного выше условия, А определяется единственным образом. Легко доказать, пользуясь неравенством треугольника, что А — замкнутый оператор. Указанная операция расширения А называется замыканием А. Если В любое замкнутое расширение А, то нетрудно видеть, что .

Теорема . Если А — замкнутый оператор, то , где В — ограниченный на оператор, также замкнутый оператор; если он существует, - замкнутый оператор, и множество решений уравнения есть подпространство.

Доказательство всех утверждений непосредственно следует из определения замкнутости оператора.

Теорема 2. Если А допускает замыкание и имеет на ограниченный обратный то А имеет обратный он определен на подпространстве и является ограниченным

Если подпространство, то замкнутый оператор.

В противном случае можно распространить ограниченный оператор с линеала на подпространство Обозначим полученный таким образом ограниченный оператор через В: Нетрудно видеть, что уравнение на имеет только нулевое решение. В противном случае существовала бы такая последовательность что Но это противоречит тому, что А допускает замыкание, ибо если принять Оператор и является, очевидно, замыканием А. Теорема доказана.

Замечание. Мы видим, что в рассматриваемом случае замыкание А однозначно связано с распространением по непрерывности ограниченного оператора

Следствие. Если А — замкнутый оператор и на существует ограниченный обратный оператор то подпространство,