65. Интегрирующая функция ограниченной вариации.

До сих пор при изучении интеграла Лебега — Стилтьеса мы предполагали, что функция неотрицательна. Мы переходим сейчас к тому случаю, когда интегрирующая функция получается из функции промежутков которая является функцией ограниченной вариации. Для такой функции мы имеем каноническое представление в виде разности двух неотрицательных функций

где

и есть полная вариация на промежутке . Каждая из функций приводит к неотрицательной, аддитивной и нормальной функции на замкнутом теле множеств Обозначим через замкнутое тело множеств, являющееся общей частью На этом теле определяется вполне аддитивная и нормальная функция

Возьмем неотрицательную, аддитивную и нормальную функцию промежутков

Ее распространение приводит к функции , определённой на замкнутом теле Пользуясь последней формулой и неотрицательностью функции легко показать, что есть общая часть совпадает с Сначала надо показать, что для любого множества внешняя мера относительно функций , т. е. равна сумме внешних мер относительно Затем, пользуясь определением измеримости, легко показать, что если измеримо относительно , то измеримо относительно и а также, наоборот, если оно измеримо относительно то оно измеримо и относительно

. При интегрировании надо рассматривать класс функций , измеримых относительно , т. е. класс функций, измеримых одновременно относительно Интеграл определяется естественно формулой

и его существование обусловлено существованием интегралов, стоящих справа, причем мы считаем, что оба эти интеграла имеют конечные значения. В противном случае правая часть написанной формулы может привести к неопределенному выражению. Две функции называются эквивалентными, если они эквивалентны относительно . Свойства интеграла 1, 4, 5, 7, 8, 9 из [52] сохраняются без изменения. В свойстве 3 вместо неравенства (16) имеем неравенство

В свойстве 6 вместо сходимости ряда (49) мы должны потребовать сходимость ряда

и, наконец, в свойстве 10 вместо неравенства (50) будем иметь неравенство

Согласно определению интеграла, суммируемыми функциями будут функции, суммируемые относительно . Теоремы 1 и 2 из [54] о предельном переходе остаются без изменения.

Нетрудно распространить понятие интеграла и на тот случай, когда функция является комплексной функцией:

где суть функции ограниченной вариации. Пользуясь каноническим разбиением зтих функций

приходим к формуле

Функция приводит к функции , определенной на замкнутом теле , которое является общей частью замкнутых тел . Определение измеримых функций относительно и интеграла строится совершенно так же, как и выше,

причем и интегрируемая функция может быть комплексной функцией.

В случае одного переменного для функции ограниченной вариации мы имеем каноническое представление: виде разности двух неубывающих функций, и интеграл запишется в виде

Если введем полную вариацию , то будем иметь неравенство

и суммируемость относительно равносильна суммируемости относительно