191. Инвариантные подпространства и приводимость оператора.

Прежде чем вводить понятие инвариантного подпространства, выясним нопягие коммутирования ограниченного заданного на всем Н оператора В с оператором А, заданным не во всем Н.

Определение. Говоря, что ограниченный везде заданный оператор В коммутирует с оператором А при соблюдении следующих условий: I) если то и если то

Если А — везде заданный ограниченный оператор, то первое условие отпадает, и мы имеем прежнее определение коммутирующих операторов.

Теорема 1. Для того чтобы В коммутировал с самосопряженным оператором необходимо, чтобы он коммутировал с резольвентой R; при всяком регулярном значении X и достаточно чтобы он коммутировал с хотя бы при одном регулярном X.

Коммутирование В и регулярном есть обычное коммутирование, которое мы определили раньше при . Пусть В коммутирует с А, X — любое регулярное значение x и у — любой элемент Н. При этом и, кроме того, имеем

Но , откуда и (47) переписывается в виде

Применяя к обеим частям последнего равенства получаем и необходимость доказана.

Положим теперь, что существует такое регулярное значение X, что . Из вида правой части следует, что обе части из при любом . Если у пробегает все Н, то пробегает все и из указанного равенства, следует, что если то и . Применяя к обеим частям упомянутого равенства оператор , получим (48) и (47), а (47) можно переписать в виде при и достаточность также доказана.

Следствие. Если В коммутирует с при каком-либо одном регулярном значении X, то он коммутирует с и при всех регулярных значениях X.

Переходим теперь к определению инвариантного подпространства.

Определение. Подпространство L называется инвариантным подпространством для оператора А при соблюдении следующего условия: если то и

Если L инвариантное для А подпространство и есть линеал элементов принадлежащих одновременно D(А) и L, то А индуцирует в L оператор который определен на и равен А. Подпространство L можно рассматривать как пространство Гильберта

(оно может быть и конечномерным). Как мы в дальнейшем упиднм, существенно, чтобы не только L, по и дополнительное подпространство было инвариантным для А, и чтобы проекция любого элемента на L также принадлежала Это приводит нас к следующему определению.

Определение. Говорят, что подпространство L приводит оператор А при соблюдении следующих условий: 1) L и суть инвариантные для А подпространства; 2) если то и проекция в L принадлежит .

В дальнейшем через будем обозначать проектор в подпространство К Мы имеем

Если , то из определения следует, что и тем самым , т. е. если L приводит А, то и М приводит А. Пусть операторы, которые оператор А индуцирует в L и М. При этом для любого имеем

и мы расчленили, таким образом, оператор А на операторы действующие в L и М.

Теорема 2. Для того чтобы подпространство L приводило оператор А, необходимо и достаточно, чтобы и А коммутировали.

Начнем с доказательства необходимости. Пусть L приводит А. При этом из определения приводимости следует, что если то и . Остается доказать, что при Мы имеем формулу (50), причем . Применяя к обеим частям (50) оператор получим

что и требовалось доказать.

Переходим к доказательству достаточности. Из условия коммутирования PL и А следует, что если то и Остается доказать, что если то и аналогично для . Первое непосредственно следует из формулы левая часть которой очевидно принадлежит L, а правую можно представить в виде ибо То же верно и для ибо если А коммутирует с то А коммутирует и с

Перейдем теперь к тому случаю, когда А — самосопряженный оператор.

Теорема 3. Для чтобы инвариантное для самосопряженного оператора А подпространство L приводило этот оператор, достаточно потребовать, что из следует .

Нам показать, что из условий теоремы следует, что если , то и .

Для такого элемента у и любого имеем . Но по условию откуда и тем самым при всяком Но линеал плотен в , откуда ; что и требовалось доказать.

Обозначим, как и выше, через проекцию т. е. линеал тех элементов L, из которых определен оператор А, и через оператор, который индуцируется оператором А в

Теорема 4. Если подпространство L приводит самосопряженный оператор А, то плотно в L и есть самосопряженный в L оператор.

Пусть у — заданный элемент L и заданное число. Надо показать, что существует такой элемент что Линеал плотен в Н, и потому существует такой элемент что . Тем более . Но и первое утверждение теоремы доказано. Остается показать, что если для любого имеется равенство

где то . Мы можем положить , где z — любой элемент и получим в теоремы , откуда ибо у и . Из последнего равенства, в виду самосопряженности А, следует, что и теорема доказана. Этой теоремой мы пользовались в [189].

Пусть попарно ортогональные подпространства и L их ортогональная сумма [139]:

Теорема 5. попарно ортогональные подпространства приводят замкнутый оператор А, то и их ортогональная сумма приводит А.

Будем доказывать для случая бесконечного числа слагаемых. Нам надо доказать, что операторы PL и А коммутируют. Пусть проектор, равный сумме первых из . Если , то, поскольку приводят А, имеем . Но , откуда, в силу замкнутости А, и следует, что , что и требовалось доказать. Пусть А — самосопряженный оператор, его различные собственные значения и соответствующие подпространства собственных элементов (включая и нулевой элемент). Число этих подпространств может быть и конечным. Каждое очевидно приводит А. Составим их ортогональную сумму L. Если L есть все

Ну то А имеет точечный спектр. Если это не так, то мы имеем ортогональное разложение И:

причем L и М приводят А, и этот оператор индуцирует в L и М операторы так, что причем при Оператор А, имеет в точечный спектр, а оператор чисто непрерывный спектр в М.