71. Средние функции.

Мы введем некоторый процесс усреднения для любой суммируемой функции . Он приведет нас к последовательности функций, которые будут иметь производные всех порядков и будут в известном смысле стремиться к Для определенности мы будем рассматривать случай плоскости и вместо точек

будем вводить их координаты. Пусть со, функция. зависящая только от расстояния

равная нулю при непрерывная и имеющая непрерывные производные всех порядков по всем четырем координатам. Отметим при этом, что дифференцирование по и у можно заменять дифференцированием по с переменой знака у результата. Предположим, кроме того, что

Мы не пишем области интегрирования, предполагая, что интеграл берется по всей плоскости. В силу сказанного выше, фактически интегрирование совершается по кругу . Если в формуле (164) интегрирование по заменить интегрированием по то результат будет тот же.

Введем теперь следующее обозначение:

Функция обладает теми же дифференциальными свойствами, что и но при и

Дальше мы укажем одну из возможностей выбора функции . Символом мы в дальнейшем будем обозначать круг с центром и радиусом . Введем еще следующее обозначение:

откуда

Пусть в ограниченной открытой или замкнутой области имеется суммируемая функция f(x, у) (вместо области мы могли бы взять любое ограниченное измеримое множество). Продолжим ее нулем на всю плоскость и составим от нее среднюю функцию:

Положительное число называется обычно радиусом усреднения.

Подынтегральная функция равна нулю вне круга и, если расстояние d от точки до больше нуля, то при .

Теорема 1. Функция непрерывна и имеет непрерывные частные производные любого порядка на всей плоскости.

Принимая во внимание, что зависит только от разностей , имеем

Из равномерной непрерывности как функции следует, что при любом заданном существует такое , что

и, следовательно,

откуда, в силу произвольности , и следует непрерывность . Докажем теперь существование и непрерывность произзодной по :

По теореме о среднем

При любых правая часть по абсолотной величине не превосходит некоторого числа интеграле (171) подынтегральная функция по абсолютной величине не превосходит суммируемой функции так что возможен предельный переход под знаком интеграла, и мы получаем

Непрерывность этой частной производной может быть доказана совершенно так же, как и непрерывность . Приведенное доказательство применимо и к дальнейшим производным, и они получаются дифференцированием под знаком интеграла:

Теорема 2. Вели на , то

где — постоянная, и

Мы имеем

Применяем неравенство Буняковского:

Пользуясь (168), интегрируя по и переставляя порядок интегрирования [69], получим

откуда, в силу (168), получаем причем справа интегрирование производится по так как вне

Переходим к доказательству формулы (174). Принимая во внимание (166) и (169), можем написать

Во внутреннем интеграле вводим вместо новые переменные интегрирования по формулам и принимая во внимание, что при получим, применяя неравенство Буняковского:

Но - постоянная, не зависящая от , и, следовательно, фавая часть не превосходит

В результате формула (176) дает

Переставляем порядок интегрирования

В силу непрерывности в среднем при любом заданном суцествует такое что

При этом неравенство (178) дает

что, в силу произвольности S, и приводит к (174).

Докажем еще одну теорему, которая нам будет нужна в дальнейшем.

Теорема 3. Пусть U — множество функций из ограниченных по норме одним и тем же числом. При этом соответствующие функции при фиксированном ограничены по модулю одним и тем же числом и равностепенно непрерывны.

По условию существует такое положительное число , что для всех функций из

Применяя к правой части (169) неравенство Буняковского, получим

Остается доказать равностепенную непрерывность. Применяем к правой части (170) неравенство Буняковского и пользуемся (179):

и из равномерной непрерывности функции следует равностепенная непрерывность функций при любом выборе из

Указанные выше доказательства применимы и для при . Если , то вместо неравенства Буняковского надо воспользоваться неравенством Гёльдера и формулой

При все доказывается, как и выше, без применения неравенств Буняковского и Гёльдера. Таким образом, имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Если , то

Имеет место и теорема 3 с заменой на Доказательство остается в силе и в том случае, когда есть неограниченное измеримое множество, например, вся плоскость Пользуясь теоремой 3, легко показать, что линеал непрерывных финитных функций с непрерывными производными всех порядков повсюду плотен в

Отметим еще, что все сказанное выше имеет место как для вещественного, так и для комплексного пространства Выше мы рассматривали средние функции в предположении, что Положим теперь, что непрерывная в открытой области и пусть любая фиксированная замкнутая область, лежащая внутри . В силу равномерной непрерывности в любой замкнутой области, лежащей внутри при заданном существует такое что если при любая точка . Из неравенства

получаем

Если, кроме того, функция имеет в непрерывные производные до некоторого порядка, то, заменяя в формуле (172) дифференцирование по дифференцированием по производя интегрирование по частям и пользуясь свойствами функции сор, получим для и достаточно малых :

т. е. производная средней функции равна средней функции от производной при и достаточно малом .

Отметим, что при указанных условиях равна нулю вблизи границы D, и за счет этого при интегрировании по частям обращаются в нуль криволинейные интегралы. Пути интегрирования в этих интегралах можно брать достаточно гладкими линиями, лежащими в достаточной близости к границе

Из сказанного выше следует:

Теорема 4. Если непрерывна вместе со своими производными до некоторого порядка l внутри то в любой замкнутой области , лежащей внутри средняя функция и ее производные до порядка l стремятся равномерно к и ее соответствующим производным при

Отметим еще, что если ограничена: то

Теорема 5. Если суммируема по любой замкнутой области П, лежащей внутри и обладает тем свойством, что

при любом выборе непрерывной с непрерывными производными до некоторого порядка l внутри и равной нулю вне некоторой замкнутой области, лежащей внутри то F эквивалентна нулю.

Достаточно доказать, что из условий теоремы следует, что (185) имеет место для любой ограниченной измеримой финитной т. е. равной нулю вне некоторой замкнутой области, лежащей внутри область, как и в условиях теоремы, может быть различной для различных После этого доказательство того, что эквивалентна нулю, проводится совершенно так же, как доказательство теоремы из [52]. Пусть такая функция, причем — средние функции, так что Функция финитна при достаточно малых и имеет непрерывные производные всех порядков, так что по условию теоремы

Функции сходятся при на и существует такая последовательность которая стремится к почти везде. Кроме того, причем финитны и, справа стоит суммируемая функция. Переходя к пределу в равенстве (186) при мы получаем (185), и теорема доказана.

Укажем теперь на одну из возможностей выбора функции а именно положим [ср. IV; 157]:

где постоянная выбрана так, что выполняется условие (164). Наличие непрерывных производных всех порядков при очевидно. При от меньших значений . По индукции легко проверяется, что производная любого порядка при имеет вид

где полином. При приближении точки к окружности это выражение стремится к нулю. Пользуясь формулой конечных приращений, получим, что и производная в любой точке этой окружности существует и равна нулю. В указанном примере при постоянная С формулы (167) равна единице.