92. Компактность в lр.

Докажем следующую теорему:

Теорема. Для компактности множества U элементов необходимо и достаточно, чтобы все элементы из U удовлетворяли следующим двум условиям:

1. Существует такое число что

2. При любом заданном существует целое положительное одно и то же для всех такое, что

Необходимость. Ограниченность (38), как мы знаем, необходима для компактности. Далее из компактности U следует существование конечного числа элементов из таких, что для любого имеем: где один из элементов Для элементов поскольку их конечное число, существует такое целое положительное что

Но из следует

и, применяя неравенство Минковского для сумм получим

что и доказывает необходимость условия (39). При доказательство не использует неравенство Минковского.

Достаточность. Предполагаем, что элементы U удовлетворяют условиям (38) и (39) и доказываем компактность U. Пусть задано Каждому элементу из U сопоставляем урезанный элемент и пусть множество этих урезанных элементов. Из (39) следует, что для любого существует такой элемент что т. е. множество есть -сеть для U. Остается доказать, что компактное множество [89]. Доказательство этого аналогично доказательству того, что всякое ограниченное в множество — компактно.

В силу (38) имеем для любой составляющей элементов из Мы можем из любой последовательности элементов выбрать подпоследовательность, у которой первые составляющих имеют конечный предел. Остальные составляющие этих элементов равны нулю, и отсюда следует, что упомянутая подпоследовательность сходится в к элементу, у которого все составляющие при равны нулю. Тем самым компактность доказана. Из доказанной теоремы следует, что сфера не компактна.