21. Функции промежутков на плоскости.

Понятие аддитивной функции промежутков и построение интеграла Стилтьеса становятся более сложными на плоскости, в трехмерном пространстве и вообще в многомерном пространстве. Мы рассмотрим случай плоскости. Из приведенных рассуждений будет легко видно, как их надо видоизменить для пространств с большим числом измерений. Пусть имеется плоскость с осями X и Y, и положим, что на оси X задан некоторый промежуток , а на оси У некоторый промежуток причем понятие промежутка мы понимаем здесь в общем смысле, о котором говорили в [20]. Эти промежутки определяют некоторый промежуток А на плоскости, а именно мы считаем, что точка принадлежит А, если принадлежит А и у принадлежит Эти промежутки на плоскости могут быть самого разнообразного типа. Это может быть, например, замкнутый промежуток, определяемый неравенствами или полуоткрытый промежуток, определяемый неравенствами или полуоткрытый промежуток, определяемый неравенствами или полуоткрытый промежуток, определяемый неравенствами или отрезок прямой параллельной оси или точка и т. д. Числа а, b, с и d, входящие в указанные выше неравенства, могут быть как конечными, так и бесконечными. В дальнейшем большое значение будут иметь для нас полуоткрытые промежутки, определяемые неравенствами вида и для краткости речи только такие промежутки мы и будем называть в дальнейшем полуоткрытыми.

Положим, что для любого промежутка А, принадлежащего к некоторому основному промежутку на плоскости, определена неотрицательная функция , которая обладает свойством аддитивности и нормальности. Иначе говоря, если А представляет собой сумму промежутков без общих точек, то

и если есть исчезающая последовательность промежутков, то .

Выясним некоторые свойства таких функций. Из неотрицательности и аддитивности функции непосредственно следует, что будет наибольшим значением G (А) для А, принадлежащих Значение в тех случаях, когда промежуток А есть отдельная точка Р, мы будем обозначать просто символом G (Я), причем в силу неотрицательности функция Может случиться, что во всех точках Р, принадлежащих мы имеем . В таком случае функция называется непрерывной в Если же то точка Р называется точкой разрыва Нетрудно показать, что множество точек разрыва конечно или счетно Возьмем те точки разрыва, в которых . В силу аддитивности и неотрицательности G (А) число таких точек не больше, чем целая часть числа

Точно так же число точек Р, в которых не больше, чем целая часть и т. д. Отсюда совершенно так же, как в [6], мы и заключаем, что множество точек разрыва конечно или счетно. Если оно счетно, и последовательность точек разрыва, то ряд, составленный из положительных чисел G (ЯД сходится и имеет место неравенство

Совершенно так же, если есть входящая в состав часть прямой, параллельной одной из осей координат, то она называется линией разрыва, если Всякая прямая, параллельная оси и проходящая через точку разрыва, дает линию разрыва. Но могут быть и такие линии разрыва, которые не содержат ни одной точки разрыва. Совершенно так же, как и выше, можно показать, что если линии разрыва существуют, то их множество или конечно, или счетно. При этом мы берем полный отрезок прямой, параллельной оси и входящей в не разбивая его на части. Пусть имеется последовательность промежутков таких, что А содержит и точка Р или все точки линии l

являются единственными точками, общими всем промежуткам . В этом случае говорят, что есть система вложенных промежутков, стремящихся к Р или - отрезок прямой, параллельной одной из осей). Пользуясь нормальностью функции можно показать, что если есть система вложенных промежутков, стремящихся к Р или , то или Проведем доказательство для случая точки Р и будем считать, что эта точка находится внутри всех промежутков которые открыты. Проведем через Р прямые, параллельные осям, и разобьем каждое из на следующие части: точку Р, четыре отрезка проведенных прямых, которые заключаются в и оставшиеся четыре промежутка. При беспредельном сжимании ДЛ к точке Р все построенные элементы подразделения, кроме точки Р, будут представлять собою исчезающую последовательность промежутков, и для каждой из этих последовательностей G (А) будет стремиться к нулю в силу нормальности Принимая во внимание аддитивность функции мы легко видим, что Совершенно аналогично можно разобрать другие случаи для точки Р, а также случай линии .

Данные выше определения становятся совершенно ясными, если толковать G (А) как массу, которая находится на промежутке А при распределении материи на основном промежутке Если, например, то в точке Р мы имеем сконцентрированную массу Аналогичным образом, если то масса распределена каким-то образом вдоль линии L Положим, например, что имеется полуоткрытый промежуток и в нем на прямой распределена масса с линейной плотностью, равной единице. В данном случае G (А) равно длине той части отрезка который содержится в А. В любой точке Р, принадлежащей функция Если есть система вложенных промежутков, стремящихся к то их площади стремятся к нулю, при всех п.

Отметим, что функцию определенную для всех промежутков, принадлежащих легко распространить вообще на все промежутки плоскости, причем функция останется неотрицательной, аддитивной и нормальной. Действительно, если А есть любой промежуток, и есть произведение промежутков т. е. множество точек, принадлежащих одновременно , то это произведение есть промежуток, принадлежащий и мы получим упомянутое выше расширение функции если положим . Легко физически истолковать это расширение функции если понимать как массу, которая заключается на промежутке А, причем вся масса распределена по промежутку

В дальнейшем мы увидим, что если только на полуоткрытых промежутках задана неотрицательная, аддитивная и нормальная функция, то она единственным образом может быть распространена не только на все промежутки, но и на гораздо более широкий класс точечных множеств на плоскости при сохранении ее указанных свойств. При этом ее значения на точках и линиях могут быть получены, как это было выше указано, предельным переходом при помощи системы вложенных промежутков, причем предел не зависит от того, какую именно систему вложенных промежутков мы берем.

Нетрудно произвести разбиение функции на функцию скачков и непрерывную часть. Пусть неотрицательна, аддитивна, нормальна и определена для всех А, принадлежащих . Обозначим через ее точки разрыва непрерывности. Определим функцию скачков следующим образом: равна сумме значений в тех точках которые принадлежат А. Отметим, что если таких точек счетное множество, то ряд, составленный из сходится. Разность обозначим через Эта последняя функция уже не имеет точек разрыва непрерывности. Нетрудно видеть, что обе функции неотрицательны, аддитивны и нормальны. Нормальность непосредственно следует из неравенств: . Напишем полученное разложение функции