79. Вспомогательные предложения (продолжение).

Введем новое понятие, важное для дальнейших построений. Пусть некоторое разбиение на два подмножества без общих точек. Обозначим через точную нижнюю границу сумм для всевозможных разбиений

т. е.

и для любого заданного положительного существует такое разбиение что

Функция при любом из имеет конечное значение, ибо ограничены. Если взять за само и за пустое множество или наоборот, то получим

Докажем, что вполне аддитивна. Пусть имеется разбиение на конечное и бесконечное число множеств (попарно без общих точек). Мы имеем

причем написанные ряды сходятся абсолютно. В силу (84), положительные образуют сходящийся ряд, ибо ряды с членами

и абсолютно сходятся, а потому и весь ряд, составленный из имеет определенную сумму, не зависящую от порядка слагаемых [I; 134]. Пусть задано. Существует такое разбиение что

Обозначим так что

Пользуясь определением можем написать и, суммируя по в силу полной аддитивности получим

и второе из неравенств (85) дает

откуда, в силу произвольности 2, следует

Докажем теперь противоположное неравенство. Берем такое разбиение чтобы выполнялось неравенство

Суммируя по обозначая сумму l через g, и сумму через получим

причем Но в силу определения и неравенство (88) дает

и, ввиду произвольности , получаем неравенство, противоположное (86), откуда и следует полная аддитивность

Из сказанного выше следует, что определяемая формулой (81), принадлежит

Введем еще следующее обозначение для любой функции из

Принимая во внимание, что можем утверждать, что . И, кроме того, в силу Таким образом, при всяком g, принадлежащем последовательность имеет конечный предел при . Напомним еще определение абсолютной непрерывности: называется абсолютно непрерывной на если для любого заданного положительного существует такое положительное , что , если принадлежит

Лемма 1. Если абсолютно непрерывна на , то для всякого

Пусть задано. При некотором разбиении в силу (83), имеем

Но по теореме из где - определенное число, и из (90) следует

причем правая часть при всех достаточно больших , откуда, в силу абсолютной непрерывности имеем при достаточно больших . Первое из неравенств (90) дает

Но следовательно, в силу имеем откуда, ввиду произвольности , и следует

Лемма 2. Для неотрицательной вполне аддитивной функции предел есть вполне аддитивная функция, абсолютно непрерывная на

Обозначим Принимая во внимание, что вполне аддитивны и неотрицательны и лемму из [63], можем утверждать, что вполне аддитивна. Из (84) следует, что , а потому каждая из абсолютно непрерывна.

Далее из неравенства где следует т. е.

Отсюда видно, что стремится к равномерно по отношению ко всем из . Принимая во внимание абсолютную непрерывность можем утверждать и абсолютную непрерывность на . Действительно, пусть — заданное положительное число. Мы можем фиксировать такое что

При этом, в силу (92), имеем . В силу абсолютной непрерывности существует такое положительное что если и из написанного выше неравенства следует, что в, если и лемма доказана.

Лемма 3. Если неотрицательна и абсолютно непрерывна на то для любого заданного имеется такая существенно ограниченная функция что

Из (84) следует, как мы уже указывали, что т. е. каждая из существенно ограничена. Кроме того, и, следовательно, полная вариация этой разницы на равна ее значению при Но, в силу абсолютной непрерывности мы имеем, согласно лемме и чтобы удовлетворигь неравенству (93), достаточно взять за функцию при некотором достаточно большом . Оказывается, можно удовлетворить неравенству (93), выбирая за некоторую кусочно-постоянную на функцию. Предварительно докажем это для функций из .

Теорема 1. Если то для любого заданного существует такая кусочно-постоянная функция что

Пусть измеримая функция из на и

причем считаем это выражение равным нулю, если Мы имеем очевидное равенство

Полагая в , где - частичные множества из некоторого разбиения 8 множества и суммируя по k, получим

Если примем , где функция, входящая в формулу (77), то, в силу и (95) даёт:

Принимая во внимание (78) и (79), может написать

В силу (76) существуют такие последовательности подразделений что Для последовательности мы имеем и подавно Полагая в и переходя к пределу, получим

Принимая во внимание опять (76), можем утверждать, что существует такое разбиение 8, что правая часть (98) , и, полагая мы и получим (94).

Теорема 2. Если и абсолютно непрерывна в , то для любого заданного в существует такая кусочно-постоянная на функция , что

Мы можем представить в виде разности двух неотрицательных функций из и если существуют кусочнопостоянные функции такие, что то, вводя кусочно-постоянную функцию получим, в силу (59),

и, таким образом, достаточно доказать теорему для случая неотрицательных функций

Согласно лемме 3 существует такая существенно ограниченная функция что . Функция и, следовательно, существует такая кусочно-постоянная функция , что в силу имеем и. пользуясь (59), можем написать

и теорема доказана. Утверждение теоремы 1 сводится к тому, что в при норме кусочно-постоянные функции повсюду плотны, а теорема 2 сводится к тому, что кусочно-постоянные функции повсюду плотны в пространстве абсолютно непрерывных функций из при норме .