199. Оператор умножения.

Рассмотрим пространство на промежутке и оператор умножения на независимую переменную

Линеал состоит из функций из таких, что и и, в частности, к принадлежат все функции, отличные от нуля только на конечных промежутках, откуда следует, что линеал D(А) повсюду плотен в Н. Покажем, что оператор А

самосопряженный. Нам надо показать, что если дано у при то . В настоящем случае дано

для всех из и некоторых из и надо доказать, что Применим (92) к из отличной от нуля лишь на некотором конечном промежутке , причем заметим, что такая функция принадлежит

Ввиду произвольности отсюда непосредственно следует [52], что эквивалента нулю на промежутке , а ввиду произвольности а и на всем промежутке , т. е. можно считать . Но , а потому и , что и требовалось доказать. Спектральная функция оператора (192) определяется, как и в [152], и выражается формулой

и оператор имеет чисто непрерывный спектр, расположенный на промежутке

Оператор (91) есть, очевидно, неограниченный оператор. Отметим еще, что всякая функция из суммируема на промежутке Действительно, полагая где можем написать так как и принадлежат на любом промежутке где то отсюда и следует суммируемость на промежутке

Совершенно так же, как и в [152], можно рассматривать оператор умножения на функцию, которую мы будем считать вещественной и измеримой:

причем в случае неограниченности мы получим неограниченный оператор. Положим для определенности, что ограничена на всем промежутке при исключении сколь угодно малых окрестностей конечного числа точек. При этом, беря любой замкнутый промежуток, не содержащий упомянутых точек, и рассуждая, как и выше, мы убедимся в том, что (94) есть самосопряженный

оператор для таких что и . Его спектральная функция, как и в выражается формулой

Если, например, то линеал D(А) содержит все ограниченные функции из и А есть также самосопряженный оператор. Отметим, что оператор А можно рассматривать как функцию оператора А умножения на независимую переменную для класса функций указанных в [197].

Обозначим через В самосопряженный оператор:

определенный в на множестве D(В) функций абсолютно непрерывных на любом конечном промежутке и имеющих производную из Пользуясь преобразованием Фурье, сопоставим линеалы D(А) и D(В).

Обозначая

где любая функция из D(В), и, интегрируя по частям, получим

причем правая часть при стремится к нулю равномерно по во всем бесконечном промежутке [188]. Функции стремятся в среднем в бесконечном промежутке к некоторым функциям из Тем более это будет иметь место во всяком конечном промежутке и, кроме того, в таком промежутке будет стремиться в среднем к Из формулы (98) следует, что при любом заданном положительном и достаточно больших N выполняется неравенство а

или, принимая во внимание возможность перехода к пределу под знаком нормы,

откуда, ввиду произвольности и а, следует

т. е. или

что может быть записано в виде

и, поскольку мы видим, что не только но и

Покажем теперь, что если есть любая функция из то . Поскольку принадлежат мы можем составить . Принимая во внимание (100) введем обозначения

Мы имеем [178]

Принимая во внимание первую из формул (101), из которой, в силу суммируемости на промежутке следует

можем переписать предыдущую формулу в виде

откуда следует, что Выше мы видели, что Т преобразует любой элемент Ф из D(В) в элемент из D(А), и только что показали, что Т преобразует любое из в Ф

из . Таким образом, между установлено биоднозначное соответствие, причем Т преобразует и переходу от до преобразования соответствует переход от к после преобразования, т. е.

что приводит к следующей теореме:

Теорема. Самосопряженные операторы А и В унитарно эквивалентны и имеет место формула (102), где Т — преобразование Фурье.

Для спектральной функции оператора В мы имеем формулу где определяется формулой (93), т. е.

или

Мы можем записать в виде

причем нельзя утверждать абсолютной интегрируемости на бесконечном промежутке, и написанные интегралы надо понимать как пределы интегралов по конечному промежутку при его расширении. Самосопряженный оператор определяемый, очевидно, формулой задан не во всем но лишь для таких что определяемая формулой (105), также принадлежит Это происходит в результате того, что принадлежит непрерывному спектру В.

Если мы рассмотрим оператор (94), то оператор будет представлять собой функцию оператора так что

Если неограниченная функция, то линеал, на котором определен этот оператор, получается из при помощи оператора Т. Напомним, что написанные интегралы с бесконечными пределами надо понимать в смысле сходимости в среднем. Оператор как и А, имеет простой непрерывный спектр. Функция входящая в формулу (106) должна, конечно, удовлетворять тем условиям, которые мы формулировали для в (197).