66. Приведение кратных интегралов.

Мы переходим к изложению основного результата из теории кратных интегралов Лебега, касающегося приведения кратного интеграла к последовательным простым квадратурам. Напомним соответствующие результаты из прежней теории кратных интегралов [II; 97]. Если, например, функция непрерывна на конечном замкнутом промежутке то имеет место следующая формула приведения двойного интеграла к двум квадратурам:

Мы формулируем сейчас аналогичную теорему для интеграла Лебега. Она была впервые доказана итальянским математиком Фубини в 1907 году.

Теорема Фубини. Пусть — суммируемая функция на конечном промежутке При этом функция суммируема по у на промежутке для почти всех значений из промежутка функция

определенная почти везде в промежутке суммируема по этому промежутку, и имеет место равенство

Совершенно аналогичные утверждения имеют место и при перемене порядка интегрирования. При этом получается формула

Отметим, что в указанной теореме интегралы понимаются в смысле Лебега и в этом же смысле, конечно, надо понимать и суммируемость функции. Утверждение о суммируемости включает, очевидно, и утверждение об измеримости функции. Обратим внимание на то, что функция (143) может быть определена не во всех точках промежутка , по во всяком случае определена почти везде на этом промежутке. Аналогичное замечание относится и к функции

Для того чтобы сделать доказательство, которое довольно сложно, более отчетливым, мы формулировали теорему Фубини для частного случая. В дальнейшем укажем различные более общие формулировки этой теоремы. Доказательству этой теоремы предпошлём несколько лемм.

Лемма . Если для функций суммируемых на промежутке А, справедлива теорема Фубини, то она справедлива и для любой линейной комбинации этих функций.

Каждая из указанных функций по условию леммы, суммируема по у на промежутке если исключить из промежутка изменения некоторое множество меры нуль. Если мы исключим из множество имеющее также меру нуль, то для оставшихся значений функция (147) будет суммируемой по у на промежутке . Все функции

будут определены на за исключением точек множества А. Далее, по условию леммы, для функций справедлива формула (144). Принимая во внимание правила интегрирования суммы и вынесения постоянного множителя за знак интеграла, мы видим, что формула (144) справедлива и для функции (147), и тем самым лемма доказана.

Замечание. Если относительно функций дано лишь то, что они измеримы по у на промежутке для почти всех значений из то то же самое, очевидно, можно утверждать и относительно функции (147), ибо сумма измеримых функций есть также измеримая функция. При этом считается, конечно, что сумма имеет смысл [43].

Лемма 2. Пусть на промежутке А имеется монотонная последовательность суммируемых функций которая сходится к функции суммируемой на . Если при этом для каждой функции справедлива теорема Фубини, то она справедлива и для предельной функции .

При доказательстве будем считать, что есть неубывающая последовательность. Случай невозрастающей последовательности приводится к указанному случаю, если заменить По условию леммы каждая из функций измерима и суммируема по у на промежутке если исключить из промежутка изменения некоторое множество меры нуль. Если мы исключим из множество также имеющее меру нуль, то для оставшегося множества значений и предельная функция будет измеримой по у на . По условию леммы каждая из функций

определена на если исключить множество значений меры нуль. Если мы исключим из множество А, также имеющее меру нуль, то все функции (148) будут определены для оставшихся значений т. е. будут определены на множество и, по условию, суммируемы на Последовательность есть возрастающая последовательность, и мы можем определить почти везде на измеримую предельную функцию Принимая во внимание, что для функций условию, применима теорема Фубини и что предельная функция по условию, суммируема на А, мы можем написать

Отсюда, в силу теоремы 2 из [54], мы можем утверждать, что суммируема на и имеет место формула

С другой стороны, в силу теоремы 2 из [54], мы имеем ,

и, таким образом, можем написать

Мы определили функцию следующим образом:

Для полного доказательства леммы нам остается доказать, что функция суммируема по у на для почти всех значений из и что функция почти везде на может быть выражена формулой

После того как мы это докажем, получим, в силу (149), для функции полностью теорему Фубини. Пусть В — множество тех точек из , в которых функция определена и равна . В силу суммируемости множество В имеет меру нуль. Если исключить из множество . В меры нуль, то на оставшемся множестве, т. е. почти везде на возрастающая последовательность стремится к функции принимающей конечные значения, т. е. для всякой точки принадлежащей множеству интегралы по от неубывающей последовательности функций от у ограничены числом . Согласно теореме 2 из [54], для указанных значений суммируема по у на и имеет место формула

и, в силу (148), функция почти везде на выражается формулой (150). Таким образом лемма доказана.

Замечание. Из самого начала приведенного доказательства непосредственно следует, что если относительно функций дано лишь то, что они измеримы по у на для почти всех значений из , то и предельная функция измерима по у для почти всех значений из