Покажем, что интеграл (108) равен абсолютной норме оператора (93). Предварительно докажем лемму.
Лемма. Если 
есть замкнутая ортонормированная система на промежутке 
то 
есть замкнутая ортонормированная в квадрате 
система.
По условию
Функции 
принадлежат, очевидно, 
и, в силу теоремы Фубини,
откуда следует ортонормированность 
. Для доказательства замкнутости этой системы достаточно показать, что если 
ортогональна ко всем 
то она эквивалентна нулю в 
. Итак, пусть
т. е.
и, в силу замкнутости системы от 
переходя к сопряженным величинам, получим
и, в силу тех же соображений, можем утверждать, что 
почти везде в 
и лемма доказана. Пусть 
коэффициент Фурье ядра 
принадлежащего 
в силу (108):
Определим квадрат абсолютной нормы оператора 
соответствующего этому ядру 
,
но последняя сумма, в силу уравнения замкнутости, и равна интегралу (108). Если выполнено условие (108) и А — самосопряженный оператор, то
где 
— собственные значения.
Все сказанное в [135] и [136] сохраняется в случае бесконечного промежутка и для многомерного оператора
где 
точки 
-мерного пространства 
и 
- некоторая область 
.
функция 
удовлетворяет условию
Для интегрального уравнения
заданная и 
искомая функция из 
на 
имеет место сказанное в [135].
эквивалентна 
то к уравнению (109) применимо сказанное в [136].
