177. Унитарные преобразования в L2.

Не всякое унитарное преобразование может быть представлено в интегральной форме.

В качестве примера укажем тождественное преобразование Но его можно записать в интегральной форме, если перейти к первообразной функции:

причем в качестве основного промежутка мы взяли промежуток при если и аналогично при Подобный результат имеет место и для любого ограниченного оператора А. Пусть

основным промежутком является промежуток Фиксируем какое-либо значение и рассмотрим первообразную для :

Мы имеем дистрибутивность и, в силу неравенства Буняковского, оценку

Отсюда следует, что мы можем рассматривать как линейный ограниченный функционал, зависящий от параметра х, и, в силу теоремы из [123], имеем

причем по у (при любом и

Мы докажем сейчас теорему, которая, при помощи перехода к первообразной функции, дает общий аналитический вид унитарных преобразований. Эта теорема была впервые доказана Бохнером (Annals of Mathem, Vol. 35, № l, 1934), причем он рассматривал промежуток . Доказательство не зависит от выбора промежутка. Для определенности мы возьмем промежуток и через будем обозначать класс функций на (см. Ф. Рисс и Б. Секефальви-Надь „Лекции по функциональному анализу", стр. 316).

Теорема. Пусть при любом фиксированном х из принадлежат по у, причем имеют место при всех а и b из формулы

и

При этом формулы

определяют унитарное преобразование и обратное ему.

Наоборот, если имеется унитарное преобразование то существуют функции с указанными выше свойствами, с помощью которых U и выражаются формулами (132) и (133).

Начнем с доказательства первой половины теоремы.

Введем функцию

и определим операторы следующим образом:

Составляя всевозможные конечные линейные комбинации функций при различных а, мы получим линеал l кусочно-постоянных функций, т. е. функций, принимающих постоянные значения на конечном числе конечных промежутков и равных нулю вне этих промежутков. При этом значения функций на концах промежутков не играют роли, поскольку мы отождествляем эквивалентные функции. Распространим операторы на линеал приняв за основу дистрибутивность Нетрудно видеть, что это распространение единственно. Мы обозначим через и , полученные на l дистрибутивные операторы.

Формулы (130), (131) и (134) дают нам

Пользуясь дистрибутивностью, можем написать такие же формулы для U и V на l:

где Из (137) следует, что операторы U и V на l не меняют нормы элементов, и, поскольку линеал плотен в мы получаем единственное распространение операторов U и V (по непрерывности) на все . В силу непрерывности скалярного произведения, на сохраняются формулы (137) и (138), и операторы U и V не меняют нормы и скалярного произведения на Из (138) следует, что Заменяя в на и пользуясь (137), получим и, аналогично, заменяя на получим Отсюда следует, что U — унитарное преобразование и V ему обратное [137]. Остается получить формулы (132) и (133). Первая получается из (138), если положить а вторая — если положить и перейти к сопряженным величинам.

Переходим к доказательству второй части теоремы. Дан унитарный оператор U и Строим функции:

Вводя, как и выше, обозначения и пользуясь унитарностью получим

что и приводит, в силу (139), к (132) и (133). Формулы (137) и (138) имеют место для указанных выше U и V. Полагая в них получаем (130) и (131). Теорема полностью доказана.