131. Последовательности операторов.
Все, что мы говорили о последовательностях линейных операторов в пространствах типа В [104], имеет место и для
. Напомним основные факты и сделаем некоторые добавления. Сходимость по норме последовательности линейных операторов
к линейному оператору А определяется условием
при
. Для этого необходимо и достаточно, чтобы
при
.
Сильная сходимость (или просто сходимость) определяется тем, что
при любом
При этом нормы
ограничены. Необходимое и достаточное условие сильной сходимости
при
и любом
. Из сходимости по норме следует сильная сходимость. Если
смысле сильной сходимости или сходимости по норме) и числа
то
.
Покажем, что если
самосопряженные операторы и
то и А — самосопряженный оператор. Действительно,
— вещественно при любом
и любом
. Отсюда следует, что и
вещественно при любом
, и, следовательно, А — самосопряженный оператор.
Имея понятие предела, мы можем рассматривать бесконечные ряды, составленные из линейных операторов в
и говорить об их сходимости в том или ином смысле. Рассмотрим один важный для дальнейшего пример. Пусть А — линейный оператор и
. Составим ряд:
где а — комплексное число. Обозначая через
оператор, равный сумме первых
- членов этого ряда, получим
откуда, считая
и, следовательно,
при
и любом
т. е. ряд (68) сходится по норме при
Поскольку оценка для
не содержит а, говорят, что ряд (68) сходится равномерно по а при
. Принимая во внимание, что
мы можем утверждать, что ряд (68) сходится по норме равномерно относительно а, если
, где
выбрано настолько малым, что
Умножая ряд (68) на
и принимая во внимание сказанное выше о предельном переходе для последовательности операторов, получим
, т. е. сумма ряда (68) при
есть ограниченный обратный оператор для
Совершенно так же, как и выше, можно доказать следующее утверждение: если нормы операторов
не превышают положительных чисел
которые образуют сходящийся ряд, то ряд
сходится по норме, и норма оператора А не больше суммы ряда, составленного из чисел Последнее утверждение следует из того, что если бы норма А оказалась больше этой суммы, то при достаточно большом
и норма оператора
оказалась бы больше этой суммы, что противоречит очевидному неравенству
Утверждение, аналогичное вышеуказанному, имеет, очевидно, место и для нормированных пространств.