190. Случай точечного спектра.

Говорят, что самосопряженный оператор H имеет точечный спектр, если ортонормированная система его собственных элементов полна в . Пусть эта система, каким-либо образом пронумерованная, и Х — соответствующие собственные значения: По условию любой элемент представим своим рядом Фурье

Теорема 1. Для того чтобы принадлежал D(А), необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд

и если это условие выполнено, то

Если , то коэффициент Фурье элемента есть , откуда вытекает сходимость ряда (44). Положим, наоборот, что ряд (44) сходится, и докажем, что . Из сходимости ряда (44) следует, что мы можем построить элемент

и, обозначая через отрезок ряда (43), имеем откуда, в силу замкнутости оператора А, следует, что . Теорема доказана.

Мы видели раньше, что вполне непрерывный самосопряженный оператор имеет чисто точечный спектр, причем при любой нумерации собственных значений при . Укажем, еще на один важный случай самосопряженного оператора, имеющего точечный спектр.

Пусть А — самосопряженный оператор, имеющий пполпе непрерывный обратный Из определения обратного оператора следует, что уравнение не имеет решений, кроме тривиального Вполне непрерывный самосопряженный оператор имеет точечный спектр, и его собственные значения можно пронумеровать в порядке не возрастающего абсолютного значения: причем, в силу сказанного выше, при всех значениях k. Обозначая через соответствующие собственные элементы, образующие оргонормированную систему (полную в ), можем написать откуда непосредственно следует, что где . Принимая во внимание сказанное в [136], мы приходим к следующей теореме.

Теорема 2. Если самосопряженный оператор А имеет вполне непрерывный обратный то А имеет точечный спектр, все его собственные значения имеют конечный ранг и во всяком конечном промежутке имеется лишь конечное число собственных значений А.

Из сказанного следует, что собственные значения такого оператора А можно пронумеровать в порядке неубывающего абсолютного значения причем при

У оператора с точечным спектром спектру могут принадлежать не только собственные значения. Например, если X есть точка сгущения Х, то она обязательно принадлежит спектру, ибо регулярные точки образуют открытое множество. Докажем, что остальные значения X не принадлежат спектру.

Теорема 3. Если самосопряженный оператор А имеет точечный спектр, то всякое вещественное значение X, отличное от собственных значений и не являющееся точкой сгущения этих значений, есть регулярная точка А.

По условию существует такое положительное число ту что при всех k. Пусть D(А). Из (43) и (45) следует

откуда и следует регулярность точки X. Иногда говорят, что в рассматриваемом случае А имеет чисто точечный спектр.

Если самосопряженный оператор не имеег собственных значений, то говорят, что он имеет чисто непрерывный спектр. В этом случае мы имеем представление любого элемента из И уже не в виде ряда Фурье (43), но в виде суммы интегралов . В дальнейшем покажем, что для всякого самосопряженного оператора можно отделить точечный спектр от чисто непрерывного спектра, аналогично тому, как мы в [189] отделили одно собственное значение от остальной части спектра. Для этого нам надо ввести некоторые новые понятия. Они представляют и самостоятельный интерес в теории операторов.