57. Функциональное пространство Гильберта.

Семейство функций представляет собой, как и семейство С [14] некоторое функциональное пространство. Элементом этого пространства является вещественная функция с суммируемым квадратом на Эквивалентные функции при этом отождествляются, т. е. им соответствует один и тот же элемент .

Определено сложение элементов и их умножение на вещественное число, причем эти операции подчиняются обычным законам алгебры. Нормой элемента х (длина вектора) назовем неотрицательное число, определяемое следующей формулой:

Говорят, что последовательность элементов из сходится к элементу из если при Эта сходимость по норме, в силу (73), равносильна сходимости в среднем.

Введем еще понятие о скалярном произведении двух элементов . Оно определяется равенством

и, очевидно, имеет место формула

Расстояние между двумя элементами и определяется формулой

Пусть имеются три элемента и h. Напишем формулу применим неравенство (69). Мы получим, таким

образом, в силу определения (74), так называемое правило треугольник а:

Нулем пространства или нулевым элементом назовем функцию, тождественно равную нулю или, что то же, функцию, эквивалентную нулю. Норма нулевого элемента равна нулю, а норма любого другого элемента, в силу свойства 8 из [51], положительна. Расстояние и знак „равно" имеет место только тогда, когда элементы совпадают, т. е. функции эквивалентны. Расстояние и скалярное произведение симметричны, т. е. . Для того, чтобы последовательность элементов имела предел в нашем функциональном пространстве, необходимо и достаточно, чтобы она сходилась в себе, т. е. для любого заданного существовало такое N, что при . Последнее свойство называют обычно полнотой пространства .

Неравенство (77) справедливо, очевидно, и для любого конечного числа слагаемых:

или

Совершенно аналогично предыдущему можно построить функциональное пространство и Для комплексных функций (54). Функция называется функцией из , если принадлежат . При этом квадрат модуля есть суммируемая функция. Теоремы 1 и 2 сохраняются. Неравенства (67) и (69) переписываются в виде

В определении сходимости в среднем и сходимости в себе квадраты разности надо заменить квадратами модулей разностей Теоремы 7 и 8 сохраняются. При построении функционального пространства допускается умножение не только на вещественные, но и на комплексные числа. Норма элемента определяется формулой

а скалярное произведение формулой

где символом а мы обозначаем, как всегда, комплексное число, сопряженное с а. По-прежнему имеет место формула (77). Расстояние между элементами определяется формулой (76) с заменой на и оно имеет те же свойства, что и для вещественного пространства. Для скалярного произведения имеем формулу Все сказанное о пространстве комплексных функций непосредственно вытекает из того, что функции принадлежат вещественному пространству Функциональное пространство называется часто функциональным пространством Гильберта.

Отметим один частный случай. Положим, что функция соответствует сосредоточенным массам, помещенным в точках и равным единице. При этом интеграл Лебега — Стилтьеса для любой функции принимающей конечные значения в указанных точках, по любому множеству , содержащему вышеуказанные точки, превращается в конечную сумму

Если рассматривать значение всякой функции в точках как составляющие некоторого -мерного комплексного вектора, то получим -мерное пространство теорию которого мы излагали в третьем томе [III, 25]. Данные выше определения сложения, умножения на число, нормы, скалярного произведения и т. д. совпадают с тем, о чем говорили раньше.