93. Функционалы на компактных в себе множествах.

Положим, что функционал принимающий вещественные значения, определен на компактном в себе множестве U метрического пространства X. Он называется непрерывным, если из следует

Для таких функционалов имеет место теорема, аналогичная теореме о непрерывных функциях на ограниченных замкнутых множествах пространства .

Теорема 1. Если U — компактное в себе множество пространства X и вещественный непрерывный функционал на U, то он ограничен и достигает на U своей точной нижней и верхней границ.

Будем доказывать только ограниченность снизу и достижимость точной нижней границы. Ограниченность доказывается от обратного. Если бы множество значений было неограниченным снизу, то существовала бы последовательность элементов из U, такая, что . В силу компактности U, можно выделить из сходящуюся подпоследовательность и, в силу компактности в себе, При этом, в силу непрерывности имеем что противоречит ибо конечное число.

Пусть а — точная нижняя граница множества значений на U. При этом существует такая последовательность элементов что . Как и выше, можем считать, что , где и, следовательно, Но из а что откуда что и требовалось доказать.

Выше мы ввели понятие нижнего и. верхнего пределов последовательности вещественных чисел Введем для них обозначения

Эти пределы могут быть равны или

Если последовательность имеет предел, то S и Т совпадают с этим пределом. Кроме того, из определения S и Т следует, что никакая подпоследовательность последовательности не может иметь предела, который меньше S или больше но есть хоть одна подпоследовательность, которая имеет предел S, и такая, которая имеет предел Т. Функционал называется полунепрерывным снизу на U, если из следует, что и полунепрерывным сверху, если из следует

Докажем важное в приложениях обобщение теоремы 1.

Теорема 2. Функционал определенный на компактном в себе множестве U метрического пространства и полунепрерывный снизу (сверху), ограничен снизу (сверху) и достигает на U своей точной нижней (верхней) границы. Берем функционал, полунепрерывный снизу, и доказываем, как и в теореме 1, ограниченность снизу. Предположение приводит к подпоследовательности где Но, в силу полунепрерывности снизу, где конечное число, что противоречит

Пусть а — точная нижняя граница множества значений на U. Как и в доказательстве теоремы 1, получим подпоследовательность Из первого следует: а из второго откуда Но точная нижняя граница значений и, следовательно, что и требовалось доказать.