118. Области более общего типа.
Мы займемся теперь перенесением теорем вложения на более широкий класс областей. Пусть ограниченная область D может быть разбита кусочно-гладкими
мерными многообразиями на конечное число областей, в каждой из которых справедливо все доказанное в [117]. Тогда это справедливо и в области D. Очевидно, достаточно рассмотреть случай, когда D разбита некоторой поверхностью
на две непересекающиеся части и
Пусть функция и
Покажем прежде всего, что
имеет в D все обобщенные производные иизших порядков из
Очевидно, и
где К — любой шар, лежащий в D. Применяя к этому шару сказанное в [116], убеждаемся, что и
имеет в К всевозможные обобщенные производные вида
принадлежащие
определена всюду в D и принадлежит
Действительно, в
имеет производную
из
соответственно. Единственность обобщенной производной позволяет утверждать, что совпадает с
.
Покажем теперь, что
есть обобщенная производная
в D. Пусть D — произвольная строго внутренняя подобласть D и
рассюяние D до границы D. Пусть
произвольная точка D и 0 с
В шаре радиуса 5 с центром в точке
имеет обобщенную производную
Образуя средниес радиусом усреднения
мы можем утверждать [109], что в центре шара
Так как
при
то по второму определению обобщенной производной
есть, обобщенная производная
функции и
в D. Остается напомнить, что
Замечание. Наше рассуждение показывает, что в любой области D функции из
имеют обобщенные производные всех низших порядкоз из
Рассмотрим теперь вопрос о перенесении на нашу область D теоремы 1 из [117]. Предположим, что
и, следовательно,
непрерызна в
Покажем, что и
непрерывна в D, для чего достаточно установить непрерывность и
в точках поверхности
В любой внутренней точке D непрерывность и
вытекает из теоремы вложения в С, примененной к достаточно малому шару. Для точек
лежащих на границе D, предельное значение и
получаемое по любому пути, лежащему в
в силу непрерызности и
совпадают с предельным значением, полученным по пути, лежащему в
То же самое можно сказать и о предельных значениях при приближении из
Отсюда следует, что предельные значения функции и
по любым путям совпадают, и и
непрерывна в D. Полная непрерывность
следовательно, ограниченность) оператора вложения вытекает из того, что для ограниченного в
множества можно сначала выделить последовательность, сходящуюся в
а затем из нее выделить подпоследовательность, сходящуюся в
Эта подпоследовательность, очевидно, сходится в D равномерно.
Совершенно также доказывается возможность перенесения в рассматриваемом случае теоремы 3 из [117]. Не возникает трудностей и при распространении теоремы 2 [117]. Нужно лишь заметить, что
-мерное сечение
вообще говоря, также разбивается на две части:
где
Применяя теорему 2 [117] в
получим
Таким образом, устанавливается ограниченность оператора вложения из
Этим же путем переносится и утверждение о сильной непрерывности в
функций из
относительно параллельного переноса сечения
Полная непрерывность оператора вложения из
в
непосредственно вытекает из (203) и сильной непрерывности относительно сдвига.
Распространение теоремы 4 из [117] не требует никаких новых соображений.
Остается справедливой и теорема 3 из [114] об эквивалентных нормах в
так как ее доказательство, данное в
опиралось лишь на теоремы вложения.
Мы можем утверждать теперь, что, если каждая из составляющих D частичных областей звездна относительно некоторого шара, то для области D справедливы все теоремы вложения, рассмотренные в [114] и [117].