118. Области более общего типа.

Мы займемся теперь перенесением теорем вложения на более широкий класс областей. Пусть ограниченная область D может быть разбита кусочно-гладкими мерными многообразиями на конечное число областей, в каждой из которых справедливо все доказанное в [117]. Тогда это справедливо и в области D. Очевидно, достаточно рассмотреть случай, когда D разбита некоторой поверхностью на две непересекающиеся части и Пусть функция и Покажем прежде всего, что имеет в D все обобщенные производные иизших порядков из Очевидно, и где К — любой шар, лежащий в D. Применяя к этому шару сказанное в [116], убеждаемся, что и имеет в К всевозможные обобщенные производные вида принадлежащие определена всюду в D и принадлежит Действительно, в имеет производную из соответственно. Единственность обобщенной производной позволяет утверждать, что совпадает с .

Покажем теперь, что есть обобщенная производная в D. Пусть D — произвольная строго внутренняя подобласть D и рассюяние D до границы D. Пусть произвольная точка D и 0 с В шаре радиуса 5 с центром в точке имеет обобщенную производную Образуя средниес радиусом усреднения мы можем утверждать [109], что в центре шара Так как при то по второму определению обобщенной производной есть, обобщенная производная функции и в D. Остается напомнить, что

Замечание. Наше рассуждение показывает, что в любой области D функции из имеют обобщенные производные всех низших порядкоз из

Рассмотрим теперь вопрос о перенесении на нашу область D теоремы 1 из [117]. Предположим, что и, следовательно, непрерызна в Покажем, что и непрерывна в D, для чего достаточно установить непрерывность и в точках поверхности В любой внутренней точке D непрерывность и вытекает из теоремы вложения в С, примененной к достаточно малому шару. Для точек лежащих на границе D, предельное значение и получаемое по любому пути, лежащему в в силу непрерызности и совпадают с предельным значением, полученным по пути, лежащему в То же самое можно сказать и о предельных значениях при приближении из Отсюда следует, что предельные значения функции и по любым путям совпадают, и и непрерывна в D. Полная непрерывность следовательно, ограниченность) оператора вложения вытекает из того, что для ограниченного в множества можно сначала выделить последовательность, сходящуюся в а затем из нее выделить подпоследовательность, сходящуюся в Эта подпоследовательность, очевидно, сходится в D равномерно.

Совершенно также доказывается возможность перенесения в рассматриваемом случае теоремы 3 из [117]. Не возникает трудностей и при распространении теоремы 2 [117]. Нужно лишь заметить, что -мерное сечение вообще говоря, также разбивается на две части: где Применяя теорему 2 [117] в получим

Таким образом, устанавливается ограниченность оператора вложения из Этим же путем переносится и утверждение о сильной непрерывности в функций из относительно параллельного переноса сечения Полная непрерывность оператора вложения из в непосредственно вытекает из (203) и сильной непрерывности относительно сдвига.

Распространение теоремы 4 из [117] не требует никаких новых соображений.

Остается справедливой и теорема 3 из [114] об эквивалентных нормах в так как ее доказательство, данное в опиралось лишь на теоремы вложения.

Мы можем утверждать теперь, что, если каждая из составляющих D частичных областей звездна относительно некоторого шара, то для области D справедливы все теоремы вложения, рассмотренные в [114] и [117].