ГЛАВА V. ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА

§ 1. Теория ограниченных операторов

120. Аксиомы пространства.

При изучении функционального пространства и пространства последовательностей мы выяснили тождественность их структуры. Они являются осуществлением одного и того же абстрактного пространства, изучению которого и будет посвящена настоящая глава. Оно было впервые введено в виде 1.2 Гильбертом и называется обычно пространством И, или пространством Гильберта. Как мы увидим ниже, пространство Н является частным случаем пространства типа В, и все, что мы говорили об этих последних пространствах, будет приложимо и к пространству И. Но пространство Н обладает сверх того и своими специфическими свойствами.

Переходим к перечислению аксиом, определяющих Н. Пространство Н есть линейное пространство, элементы которого удовлетворяют аксиоме А из [95]. Мы при этом считаем, что элементы можно умножать на комплексные числа (комплексное линейное пространство).

Далее мы будем считать, что если не оговорено противное, что для любого целого положительного существует линейно независимых элементов (аксиома В из ). Введем теперь новую аксиому, относящуюся к понятию скалярного произведения:

Аксиома С. Каждой паре элементов х и у из И сопоставляется определенное комплексное число, которое называется скалярным произведением х на у. Оно обозначается символом . Это скалярное произведение обладает следующими свойствами:

Напомним: означает, что не есть нулевой элемент. Из указанных свойств непосредственно вытекают следующие следствия:

Выражение в котором значение корня считается О, назовем нормой элемента и обозначим, как и в [95], через Проверим теперь, что таким образом определенная норма удовлетворяет трем условиям, входящим в аксиому С из [95]. Из ее определения непосредственно вытекает, что причем знак имеет место только для нулевого элемента. Далее имеем

Отсюда следует

Остается проверить неравенство

Предварительно докажем неравенство

которое в дальнейшем будем называть неравенством Буняковского [ср. IV; 35].

Пусть х и у — любые элементы Н и а и b — любые комплексные числа. Мы имеем

У написанной положительной формы Эрмита (относительно переменных а и b) дискриминант должен быть неотрицательным, т. е.

откуда и следует (5). Переходим к доказательству (4). Принимая во внимание очевидное равенство

где R есть обозначение вещественной части, получаем

откуда, в силу и неравенства (5), следует

и мы приходим к неравенству (4).

Из (4), как и в [95], следует неравенство

и

Из понятия нормы следует, как и в [95], понятие расстояния между элементами и понятие предела последовательности (сильная сходимость):

Справедливо все то, что мы говорили раньше о пределе. Мы видели [95], что если , то . Докажем теперь теорему.

Теорема. Если то . Положим . По условию . Мы имеем

и, применяя (5), можем написать

откуда, в силу и следует

При отсюда получается: если то

Если последовательность имеет предельный элемент, то она сходится в себе, т. е. при Будем считать пространство Н полным.

Аксиома D. Если последовательность сходится в себе, то существует такой элемент из Н, что Кроме того, мы примем следующую аксиому:

Аксиома Е. Пространство Н сепарабельно. Иначе говоря, существует счетное множество элементов из Н, плотное в Н.

Из сказанного выше непосредственно следует, что Н есть пространство типа В.