§ 2. Пространства и l2 и L2

162. Линейные операторы в l2.

Мы переходим к применению обшей теории к пространствам Выше мы уже видели, что, выбирая в Н некоторую замкнутую ортонормированную систему, мы приводим в биоднозначное соответствие элементы абстрактного пространства И и Можно, конечно, рассматривать и самостоятельно как некоторое осуществление поскольку при обычных определениях алгебры и скалярного произведения в имеют место все аксиомы Н.

Введем понятие урезанного элемента Пусть некоторый элемент l и имеет первые составляющие те же, что а остальные его составляющие равны нулю. Элемент и называется урезанным элементом имеем

при . Через обозначим орты составляющая а остальные равны нулю. Для элемента имеем

Если А — линейный оператор в то, вводя составляющие имеем

где

Таким образом, линейный оператор в представим матрицей с элементами (4). Сопряженному оператору А соответствует матрица

Самосопряженный оператор характеризуется равенством

Для билинейного функционала имеем формулу

где у имеет составляющие

Образуя для х и у урезанные элементы получим

Но при k и , и, следовательно,

Если и элементы матриц, соответствующих операторам А и В, то для оператора имеем матрицу определяемую формулой

или, в силу формулы скалярного произведения в

Принимая во внимание (5), получим окончательно

Обозначая бесконечные мдтрилы теми же буквами А и В, что и соответствующие операторы, а элементы этих матриц обозначая

символами можем записать предыдущую формулу в виде

Если имеются три линейных ограниченных оператора А, В и С, то, в силу сочетательного закона можно написать следующую формулу перестановки суммирования: