67. Случай характеристической функции.
Целью настоящего параграфа является доказательство теоремы Фубини для того случая, когда подынтегральная функция есть характеристическая функция некоторого измеримого множества
, принадлежащего промежутку А, о котором говорится в теореме. Интеграл от
дает, очевидно, меру
множества
, как множества на плоскости. Пусть
множество тех точек
, которые имеют заданную абсциссу
есть пересечение
с прямой
Характеристическая функция этого множества равна
Измеримость
по отношению к у равносильна измеримости функции
на промежутке
и если это так, то линейная мера
которую мы обозначим через
равна интегралу от
по указанному промежутку. Суммируемость
обеспечена ввиду ее ограниченности. Теорема Фубини для характеристической функции
приводится таким образом к следующему утверждению: функция
измерима по
на промежутке
для почти всех значений
из
ограниченная функция
измерима в
и имеет место формула
Короче говоря,
измерима по при почти всех значениях
и имеет место формула
Мы будем доказывать теорему Фубини для характеристической функции постепенно.
Лемма 3. Теорема Фубини справедлива для характеристикеской функции любого полуоткрытого промежутка, открытого множества и множества принадлежащих А.
Если имеется полуоткрытый промежуток
принадлежащий А, то
измерима по у при любом
и лемма очевидна, ибо мера
равна произведению
. Открытое множество
есть сумма счетного числа полуоткрытых промежутков А без общих точек и
В силу леммы 1, теорема Фубини справедлива для конечной суммы
При возрастании
эти суммы образуют неубывающую последовательность, которая стремится к ограниченной и тем самым суммируемой функции
и, в силу леммы 2, теорема Фубини справедлива и для
Положим, наконец, что
есть некоторое множество
принадлежащее открытому промежутку А. Мы можем представить его в виде
где
открытые множества, принадлежащие открытому промежутку А. Отметим, что если бы некоторые
не принадлежали открытому промежутку А, то мы могли бы заменить
произведением
на открытый промежуток А. В силу
есть предел невозрастающей последовательности, характеристических функций
открытых множеств
и, поскольку для
теорема фубини уже доказана, она, в силу леммы 2, справедлива и для
Если некоторые из точек множества
типа
лежат на контуре А, то мы несколько расширим А так, чтобы
лежало внутри расширенного промежутка
Теорема фубини будет справедлива для
на
Отсюда, принимая во внимание, что
вне А, получим непосредственно теорему фубини для
промежутке А. Отметим, что во всех рассмотренных в этой лемме случаях
измеримо по у при всех значениях
Лемма 4. Если
есть множество, принадлежащее А и имеющее плоскую меру нуль, то почти при всех
из
линейная мера
равна нулю, и для
имеет место теорема Фубини.
Построим множество
типа
принадлежащее А, покрывающее
и такое, что
Мы имеем
и, поскольку
то и
. Для g теорема Фубини справедлива, и можем написать
Величина, стоящая в квадратных скобках, неотрицательна, и, в силу свойства 14 из [49], мы имеем почти везде на промежутке
Отсюда видно, что линейная мера множества точек g, лежащих на почти всех прямых, параллельных оси К, равна нулю.
Так как
это и подавно будет иметь место для множества g, т. е. при почти всех
из
а потому для
справедлива теорема Фубини
Лемма 5. Теорема Фубини справедлива для
любого измеримого множества g, принадлежащего
.
Построим множество g типа
принадлежащее
, покрывающее g и такое, что
. Согласно леммам 3 и 4, теорема Фубини справедлива для характеристических функций множеств
. Но
и по лемме 1 теорема Фубини справедлива и для
Отметим, что если измеримое неограниченное множество g имеет конечную меру, то g измеримы почти при всех
и имеет место формула (152). Это получается непосредственно предельным переходом от ограниченных множеств. Таким же образом легко показать, что если g просто измеримо, то g измеримо почти при всех
Если, кроме того,
суммируемо, то g имеет конечную меру, и имеет место формула (152). Лемма 4, очевидно, имеет месго и для неограниченных множеств.