67. Случай характеристической функции.

Целью настоящего параграфа является доказательство теоремы Фубини для того случая, когда подынтегральная функция есть характеристическая функция некоторого измеримого множества , принадлежащего промежутку А, о котором говорится в теореме. Интеграл от дает, очевидно, меру множества , как множества на плоскости. Пусть множество тех точек , которые имеют заданную абсциссу есть пересечение с прямой Характеристическая функция этого множества равна Измеримость по отношению к у равносильна измеримости функции на промежутке и если это так, то линейная мера которую мы обозначим через равна интегралу от по указанному промежутку. Суммируемость обеспечена ввиду ее ограниченности. Теорема Фубини для характеристической функции приводится таким образом к следующему утверждению: функция измерима по на промежутке для почти всех значений из ограниченная функция

измерима в и имеет место формула

Короче говоря, измерима по при почти всех значениях и имеет место формула

Мы будем доказывать теорему Фубини для характеристической функции постепенно.

Лемма 3. Теорема Фубини справедлива для характеристикеской функции любого полуоткрытого промежутка, открытого множества и множества принадлежащих А.

Если имеется полуоткрытый промежуток принадлежащий А, то измерима по у при любом

и лемма очевидна, ибо мера равна произведению . Открытое множество есть сумма счетного числа полуоткрытых промежутков А без общих точек и

В силу леммы 1, теорема Фубини справедлива для конечной суммы

При возрастании эти суммы образуют неубывающую последовательность, которая стремится к ограниченной и тем самым суммируемой функции и, в силу леммы 2, теорема Фубини справедлива и для Положим, наконец, что есть некоторое множество принадлежащее открытому промежутку А. Мы можем представить его в виде

где открытые множества, принадлежащие открытому промежутку А. Отметим, что если бы некоторые не принадлежали открытому промежутку А, то мы могли бы заменить произведением на открытый промежуток А. В силу есть предел невозрастающей последовательности, характеристических функций открытых множеств

и, поскольку для теорема фубини уже доказана, она, в силу леммы 2, справедлива и для Если некоторые из точек множества типа лежат на контуре А, то мы несколько расширим А так, чтобы лежало внутри расширенного промежутка Теорема фубини будет справедлива для на Отсюда, принимая во внимание, что вне А, получим непосредственно теорему фубини для промежутке А. Отметим, что во всех рассмотренных в этой лемме случаях измеримо по у при всех значениях

Лемма 4. Если есть множество, принадлежащее А и имеющее плоскую меру нуль, то почти при всех из линейная мера равна нулю, и для имеет место теорема Фубини.

Построим множество типа принадлежащее А, покрывающее и такое, что Мы имеем

и, поскольку то и . Для g теорема Фубини справедлива, и можем написать

Величина, стоящая в квадратных скобках, неотрицательна, и, в силу свойства 14 из [49], мы имеем почти везде на промежутке

Отсюда видно, что линейная мера множества точек g, лежащих на почти всех прямых, параллельных оси К, равна нулю.

Так как это и подавно будет иметь место для множества g, т. е. при почти всех из

а потому для справедлива теорема Фубини

Лемма 5. Теорема Фубини справедлива для любого измеримого множества g, принадлежащего .

Построим множество g типа принадлежащее , покрывающее g и такое, что . Согласно леммам 3 и 4, теорема Фубини справедлива для характеристических функций множеств . Но и по лемме 1 теорема Фубини справедлива и для

Отметим, что если измеримое неограниченное множество g имеет конечную меру, то g измеримы почти при всех и имеет место формула (152). Это получается непосредственно предельным переходом от ограниченных множеств. Таким же образом легко показать, что если g просто измеримо, то g измеримо почти при всех Если, кроме того, суммируемо, то g имеет конечную меру, и имеет место формула (152). Лемма 4, очевидно, имеет месго и для неограниченных множеств.