70. Непрерывность в среднем.

Возвращаемся к и докажем, что всякая функция из непрерывна, если оценивать ее приращение в норме . Рассмотрим случай ограниченного измеримого множества . Интегралы мы берем в смысле Лебега и для определенности рассматриваем случай плоскости.

Теорема. Если на ограниченном измеримом множестве , то при любом заданном существует такое что

Точка может уже не принадлежать , и мы продолжаем во вне нулем. Значок у нормы показывает, по какому множеству берется норма. Мы можем заключить в конечный замкнутый промежуток По теореме 1 из [60], существует такая непрерывная в функция что можем продолжить с сохранением непрерывности на более широкий промежуток, например, на промежуток Представим разность

Будем иметь

Мы имели . В силу равномерной непрерывности существует такое считаем что при так что

Мы имеем

или

где промежуток, который получается из параллельным переносом на вектор . Полагая, например, получаем

где А часть так что . Последние два интеграла очевидно стремятся к нулю при , и, следовательно, существует такое что

где Из (163) получаем при и тем более при что и требовалось доказать.

Теорема может быть доказана и для случая неограниченного измеримого множества.