212. О спектрах самосопряженных расширений.

Мы видели выше, что если X — вещественная точка регулярного типа для А, то существуют самосопряженные расширения А двух типов: для одного X — регулярная точка А, а для другого — собственное значение с кратностью, равной индексу дефекта А (индексы дефекта А одинаковы).

Дополним эти результаты.

Теорема 1. Если индексы дефекта замкнутого симметричного оператора А конечны, то при любом самосопряженном расширении А оператора А кратность любого собственного значения может повыситься не более, чем на , и вещественное X, которое не было собственным значением А, не может быть собственным значением А кратности выше .

Пусть X не есть собственное значение А, но есть собственное значение А кратности Из формулы (172)

следует, что имеется собственный элемент А, принадлежащий т. е. X есть собственное значение А, что противоречит предположению. Таким образом, доказано, что Случай, когда X — собственное значение А, рассматривается аналогично с использованием оператора

Теорема 2. Если А — полуограниченный замкнутый симметричный оператор и его индексы дефекта конечны, то для любого самосопряженного расширения А спектр, находящийся левее нижней границы А, может состоять лишь из конечного числа собственных значений, сумма кратностей которых не превосходит .

Без ограничения общности можем считать А положительным оператором. Пусть спектральная функция самосопряженного расширения А. Докажем, что при любых имеет место неравенство

Пусть имеет место обратное неравенство

Мы знаем, что при . Отсюда следует, в силу (175), что в подпространстве найдется нормированный элемент Но тогда

что противоречит положительности А. Тем самым неравенство (174), а вместе с ним и теорема доказаны.