138. Абсолютная норма оператора.

Введем теперь новое понятие о норме линейного оператора. Пусть А — линейный оператор, а две какие-либо замкнутые ортонормированные в системы. Составим следующую сумму неотрицательных слагаемых:

Положительное значение корня квадратного из этой суммы обозначим а величина может равняться и Покажем, что она не зависит от выбора ортонормированных систем . Принимая во внимание, что суть коэффициенты Фурье элемента относительно системы можем написать вместо (138), в силу уравнения замкнутости,

С другой стороны, принимая во внимание, что , получим

Из уравнения (139) следует, что не зависит от выбора системы , а из (140) следует, что эта величина не зависит от выбора системы и, таким образом, вместо естественно писать просто Положительное число назовем абсолютной нормой оператора А. Эта норма может равняться . Принимая во внимание (139) и (140) и независимость от выбора системы получим

Далее формула

и неравенство (107) из [59] дают непосредственно

Пусть - унитарный оператор. При этом образуют замкнутую ортогональную нормированную систему и . Отсюда следует, в силу (139),

т. е. унитарно эквивалентные операторы имеют одну и ту же абсолютную норму. Положим, что конечно и пусть какой-либо нормированный элемент. Мы можем принять его за первый элемент в ортогональной нормированной системе и при этом из формулы (139) получим т. е.

откуда следует, что обычная норма оператораего абсолютной нормы.

Теорема. Если абсолютная норма оператора А конечна, то А — вполне непрерывный оператор, и если, кроме того, А — самосопряженный оператор, то имеет место формула

где собственные значения А (кратные входят несколько раз).

Пусть U — какое-либо ограниченное множество. Нам надо доказать, что если , то множество , где компактно. По условию существует такое положительное число , что если Ограниченность множества А непосредственно следует из того, что . Вводя какую-либо замкнутую ортонормированную систему преобразуем Н в и нам остается доказать, что при любом заданном существует такое Целое положительное число , что

Мы имеем

Но, в силу ряд (140) сходится и существует такое (не зависящее от сыбора ), что

откуда следует (145), и доказано, что А — вполне непрерывный оператор. Если А — самосопряженный оператор, то выберем за у замкнутую ортонормированную систему его собственных элементов, так что При этом, в силу (140), мы получаем формулу (144), и конечность величины N (А) равносильна сходимости ряда, стоящего в правой части (144).

Мы покажем в дальнейшем, что если А — самосопряженный положительный оператор, т. е. при , то существует линейный положительный оператор В такой, что . Обычно обозначают . Пользуясь этим оператором, мы введем понятие следа линейного положительного вполне непрерывного самосопряженного оператора.

Отсюда мы видим, что для самосопряженного положительного оператора сумма

не зависит от выбора системы . Эту сумму называют следом оператора А и обозначают символом Из предыдущих вычислений следует, что

Если А имеет чисто точечный спектр и мы возьмем за замкнутую ортогональную нормированную систему собственных элементов А, то получим, в силу