которое показывает, что 
является обобщенной производной функции 
.
Пусть теперь 
и имеет обобщенную производную в D, принадлежащую 
. Покажем, что при этом 
эквивалентна некоторой абсолютно непрерывной в [0, 1] функции. Обозначим
и заметим, что 
абсолютно непрерывна и ее производная 
эквивалентна [74]. Разность 
имеет, очевидно, производную, эквивалентную нулю. Фиксируем 
и рассмотрим промежуток 
. При достаточно малом h производная от средней функции 
равна нулю в 
и, следовательно, 
есть постоянная в 
. Так как пределом постоянных может быть лить постоянная, и 
, то 
эквивалентна постоянной в промежутке 
. Отсюда непосредственно вытекает, что всюду в 
с точностью до эквивалентности. Таким образом, мы установили, что существование обобщенной производной равносильно абсолютной непрерывности 
. Для случая многих независимых переменных аналогично доказывается, что если 
имеет обобщенную производную 
например, в кубе 
в этом кубе, 
для почти всех значений 
из куба 
абсолютно непрерывна при 
и имеет место равенство
Это равенство, так же как и равенство (133), нуждается в пояснениях. Именно функция 
и ее обобщенная производная 
определены с точностью до множества меры нуль. Поэтому равенства (133) и (134) надо понимать в том смысле, что существуют функции из класса эквивалентных 
функций, для которых они справедливы.
Приведем теперь пример функции 
имеющей обобщенную смешанную производную и не имеющей обобщенных первых производных. Этим свойством обладает функция 
, где 
есть непрерывная функция из [76]. Функция 
не имеет обобщенных первых производных, ибо 
не есть абсолютно непрерывная функция.
Обобщенная же производная существует и равна тождественно нулю. Действительно, для любой гладкой финитной функции 
мы имеем
и аналогично для 
, т. е.
откуда и следует (определение 1), что обобщенная производная
Полезно заметить, что если функция 
непрерывна в D и если область D может быть разбита при помощи конечного числа гладких поверхностей на конечное число областей 
в каждой из которых 
прерывно дифференцируема по некоторому 
вплоть до границы, то 
имеет в D обобщенную производную, равную 
в каждой из 
производная может иметь разрывы первого рода на упомянутых выше поверхностях. Сформулированное утверждение непосредственно получается из формулы интегрирования по частям:
где 
— граница 
и 
— направление нормали к 
внешней но отношению к 
Нужно лишь заметить что интегралы по поверхностям 
при суммировании по l сокращаются.
Если 
имеет различные предельные значения на каком-нибудь (
-мерном куске V поверхности, находящейся в 
и направление 
не лежит в касательной плоскости к этой поверхности, то в 
не существует обобщенной производной 
. Это следует из установленной выше связи между абсолютной непрерывностью 
и существованием обобщенной производной.
Замечание. Можно вводить понятие не отдельной обобщенной производной суммируемой функции 
, а обобщенного линейного дифференциального оператора любого порядка, например:
где коэффициенты достаточно гладкие функции от 
.
Такой обобщенный оператор определяется равенством, аналогичным (124):
где 
- сопряженный дифференциальный оператор и 
любая гладкая финитная в D функция 
Существование отдельных производных, входящих в оператор 
при этом не предполагается.
Пусть функция 
абсолютно непрерывна на промежутке [0,1]. Как известно 
имеет на промежутке [0, 1] производную 
которая является суммируемой на [0, 1] функцией. Формула интегрирования по частям [74] дает при любой непрерывно дифференцируемой финитной функции 
соотношение
