Если отбросить требование
, то
определяется следующим образом:
При этом пространство расширяется, и первоначальное пространство изометрично части расширенного.
Все указанные выше пространства полные.
Для
полнота была доказана. В других случаях доказательство полноты не представляет труда, и мы его не будем приводить.
Остановимся подробнее на пространстве S. Принимая во внимание, что
возрастает при
, мы можем написать
и отсюда следует аксиома треугольника для S. Покажем теперь, что сходимость в S равносильна сходимости по мере.
Пусть
по мере на
. Докажем, что
. Введем множества
По условию
и любом фиксированном
Мы имеем
откуда, принимая
внимание возрастание функции
и тот факт, что
на множенве
получим
Пусть задано положительное число
. Можно фиксировать
так,
чтобы иметь
Далее существует такое N, что
и, следовательно,
при
Положим теперь, что
и докажем, что
по мере на
. Мы имеем, в силу сказанного выше относительно
что
если
Таким образом,
где
считаем фиксированным. По условию
и из последнего неравенства следует, что
что и требовалось доказать.
Пользуясь теоремой из [44] и доказанным выше, можем утверждать, что если
в S, то существует такая подпоследовательность
что
почти везде на
. Полнота S может быть доказана совершенно так же, как и для
При построении функциональных пространств
мы могли бы применять меру и интеграл Лебега-Стилтьеса.