163. Ограниченные операторы.

Всякий ограниченный линейный оператор А порождает, как мы видели, бесконечную матрицу Поставим обратный вопрос: каковы должны быть элементы бесконечной матрицы для того, чтобы формула (3) давала ограниченный линейный оператор в Мы требуем, таким образом, чтобы ряды (3) сходились для любого элемента из и чтобы существовало такое число что для любого элемента имеет место неравенство

Напомним, что для билинейного функционала, в случае ограниченного оператора А, мы должны иметь оценку

Применяя эту оценку к урезанным элементам, получим следующее необходимое условие для арду содержащее конечные суммы:

Это условие оказывается не только необходимым, но и достаточным, т. е. имеет место следующая теорема:

Теорема Для того чтобы были элементами матрицы линейного ограниченного преобразования, необходимо и достаточно, чтобы для любых целых положительных k и l и для любых комплексных, чисел выполнялось условие (13) при некотором выборе числа N (не зависящего от и l).

Необходимость условия была выяснена выше. Доказываем его достаточность. Пусть любой элемент из . В условии (13) полагаем и

Оно дает при этом

или

и тем более

Покажем, что из этих неравенств следует сходимость рядов

для любого элемента из . Пусть при некотором выборе элемента и числа этот ряд расходится. При этом и подавно расходится ряд

и конечная сумма этого ряда

будет беспредельно возрастать при увеличении k. Изменим аргументы комплексных чисел так, чтобы произведения оказались положительными числами. Применяя к полученному таким образом элементу неравенство (14) и отбрасывая слева все слагаемые, кроме слагаемого соответствующего упомянутому значению , будем иметь

При беспредельном возрастании k левая часть этого неравенства беспредельно растет, и мы пришли к противоречию. Таким образом, все ряды (15) действительно сходятся для любого элемента . Покажем теперь, что из (14) следует неравенство

Действительно, если бы при некотором k и для некоторого элемента из мы имели бы противоположное неравенство, то при

этом же k и достаточно большом l (причем мы можем, очевидно, считать ) мы имели бы

и тем более

а это противоречит (14) при . Таким образом, неравенство (16) доказано. Беспредельно увеличивая в нем мы придем к (12), и теорема доказана.

Замечание. Отметим, что при доказательстве достаточности условия (13), мы пользовались им только в случае Покажем, что достаточно проверить это условие только для квадратичной формы, т. е. для ограниченности оператора достаточно проверить при любом k неравенство

Принимая во внимание формулу, выражающую билинейный функционал через соответствующую квадратичную форму, и (17), можем написать

Считая нормы элементов x и у равными единице, мы получрем, принимая во внимание, что

а для элементов любой нормы

т. е. из (17) следует условие (13) при и тем самым ограниченность оператора, определяемого матрицей Отметим еще некоторые обстоятельства, связанные с условием (13). Если удовлетворяют условию (13), то элементы матрицы сопряженного оператора также, очевидно, удовлетворяют этому условию, как это и должно быть, согласно общей теории. Введем еще матрицу

транспонированного оператора и матрицу комплексного сопряженного оператора

Мы имеем, очевидно,

и элементы матриц операторов , очевидно, удовлетворяют условию (13), если ему удовлетворяют элементы основной матрицы А. Из (13) непосредственно вытекает, что все должны быть ограничены по модулю числом, не зависящим от а именно, полагая а остальные и ровными нулю, получим Отметим еще одно необходимое условие, которому должны удовлетворять элементы матрицы ограниченного преобразования. Из формулы (4) следует, что суть составляющие элемента Поэтому должен сходиться ряд, составленный из квадратов модулей элементов любого столбца:

Переходя к А, видим, что то же должно иметь место и по отношению к строкам

Отметим одно простое достаточное условие ограниченности преобразования, соответствующего матрице

Теорема 2. Если существует такое положительное число l (не зависящее от ), что выполняются неравенства

то матрица дает ограниченное преобразование.

Достаточно показать, что при сумма

ограничена. При этом условие (13) и подавно будет выполнено.

Принимая во внимание, что можем написать

или, в силу (22) и (23),

и теорема доказана. В случае самосопряженной матрицы условия (23) следуют из (22). Отметим, что не для всякой ограниченной матрицы ряд (24) будет сходящимся.

В качестве примера рассмотрим следующие две бесконечные матрицы:

где последовательность таких вещественных чисел, что ряд с общим членом сходится. На основании теоремы 2 легко проверить, что матрицам А и В соответствуют линейные преобразования. Далее легко проверить на основании формулы (9), что при любом выборе (соблюдено указанное выше условие). Таким образом, линейный оператор А имеет бесчисленное множество обратных ограниченных операторов слева и, тем самым, ни одного ограниченного обратного справа. Если перейдем к сопряженным матрицам, т. е., в силу вещественности просто к транспонированным матрицам А и то получим Уравнение имеет вид и при любом оно имеет единственное решение в Уравнение имеет вид и оно имеет бесчисленное множество решений ввиду произвольности Это связано с тем, что А не имеет ограниченного обратного оператора слева.