109. Обобщенные производные.

Мы введем сейчас новое понятие производной, которое часто применяется в современной математической физике. Пусть D — ограниченная область -мерного эвклидова пространства точки которого определяются декартовыми координатами Под областью будем всегда подразумевать открытое связное множество и будем считать, что границы областей, о которых мы будем говорить, имеют объемную меру нуль. Через b, как всегда, будем обозначать область D вместе с ее границей (замкнутая область). Будем говорить, что область лежит строго внутри D, если и расстояние от D до границы D положительно. Это равносильно тому, что Как и раньше, будем называть функцию финитной в если она равна нулю вне некоторой области лежащей строго внутри может быть разной для разных функций). Положим, что функции имеют непрерывные производные до порядка l внутри D и функция финитна. Рассмотрим какую-либо производную порядка

Применяя формулу интегрирования по частям, получим, принимая во внимание финитность

Формула (123) может быть положена в основу более общего понятия производной.

Определение 1. Пусть функции суммируемы по любой строго внутренней подобласти D области D и для любой финитной I раз непрерывно дифференцируемой функции удовлетворяют соотношению

Тогда функция называется обобщенной производной вида (122) функции

Убедимся, что у заданной функции может существовать только одна обобщенная производная данного вида. Пусть Две обобщенные производные. Для также справедливо равенство (124), Вычитая почленно, получим

откуда, ввиду произвольности финитной функции следует, что эквивалентные в D функции [71].

Если имеет внутри D непрерывные производные до порядка то имеет место . В дальнейшем мы сохраним обозначение (122) и для обобщенных производных. Отметим некоторые свойства обобщенной производной, непосредственно вытекающие из ее определения. Обобщенная производная не зависит от того, в каком порядке записано дифференцирование, ибо в формуле (124) можно произвольно переставлять порядок дифференцирования у функции имеющей непрерывные производные. Если имеют обобщенные производные вида , то имеет обобщенную производную того же вида постоянные). Если есть обобщенная производная в D, то она будет обобщенной производной того же вида и в любой области принадлежащей

Если имеет обобщенную производную имеет обобщенную производную имеет обобщенную производную Аналогично и для производных других видов. Далее, если имеет обобщенные производные производная от по

Ниже мы покажем также, что при некоторых дополнительных ограничениях справедлива обычная формула дифференцирования произведения:

Установим теперь связь между обобщенным дифференцированием и операцией усреднения. Пусть какое-либо усредняющее ядро, зависящее от расстояния между точками средние функции, построенные для

Предполагая, что имеет в D обобщенную производную вида (122), вычислим соответствующую (очевидно, обычную) производную от средних функций [71]:

Будем считать точку отстоящей от границы D на расстояние, большее чем h. Так как функция обращается в нуль вне шара радиуса h с центром в точке то ее можно взять в качестве финитной функции в формуле (124). Вместе с (128) это приводит к соотношению

которое можно сформулировать так: средние функции от обобщен производных совпадают с производными того же вида от средних функций во всех точках области D, расстояние которых до границы D больше радиуса усреднения.

На основании свойств средних функций можем теперь утверждать, что при в L(D), где D — любая строго внутренняя подобласть области D. Более того, если дополнительно предположить, что суммируема по любой строго внутренней подобласти D с какой-либо степенью 1, а обобщенная производная с какой-либо степенью , то сходимость имеет место в соответственно. Сделаем одно предостережение. Пусть функция доопределена каким-либо образом на все например, положена равной нулю вне D. Тогда функции также определены во всем пространстве и при сходятся к Однако функции вообще говоря, не будут сходиться к пространстве Это связано с тем, что так продолженная функция может не иметь соответствующей обобщенной производной во всем

Вернемся теперь к доказательству формулы (126) дифференцированию произведения. Докажем сначала одно простое утверждение. Пусть в любой строго внутренней для D области D и ограниченная финитная в D функция. Тогда

Действительно, используя неравенство Гёльдера, найдем

Здесь подобласть вне которой равна нулю. Правая часть последнего неравенства стремится к нулю при так как и сходящаяся в последовательность ограничена в по норме.

Установим теперь формулу (126) в предложении, что для любой строго внутренней подобласти О. Используя предыдущее утверждение, имеем для любой непрерывно дифференцируемой финитной функции равной нулю вне :

и, следовательно,

При достаточно малом можно применить в формулу (129) и заменить

Применяя еще раз наше вспомогательное утверждение к правой части (130), получим:

Последнее равенство означает, что произведение имеет в D обобщенную производную по которая может быть вычислена по формуле (126).

Заметим, что формула (126) справедлива и при . В этом случае нужно только принять т. е. считать и ограниченными в любой подобласти , Покажем теперь, что можно дать другое определение обобщен, ной производной и на основе формулы (129) установить его эквиват лентность первоначальному определению,

Определение 2, Функция называется обобщенной изводной вида (122) функции в если существуем последа вательность I раз непрерывно дифференцируемых внутри Р функций таких, что сходятся соответственно к , где — любая строго внутренняя подобласть

Теорема Определения 1 и 2 равносильны. Положим, что обобщенная производная от но второму определению, Имеет место формула (123), при замене на и, по скольку и в , мы можем при любом выборе финитной функции с указанными свойствами перейти к пределу под знаком интеграла откуда и следует формула (124).

Положим теперь, что обобщенная производная от в смысле первого определения. Тогда, в силу (129) и теоремы 4 из требуемую вторым определением последовательность функций дадут средние функции при какой-либо последовательности стремящейся к нулю (при этом ) считаем продолженной нулем вне D). Теорема 1 доказана. Из этой теоремы следует, что и в смысле второго определения обобщенная производная единственна, если она существует.

Докажем теперь теорему, которая показывает, что обобщенные производные выдерживают слабый предельный переход в

Теорема 2. Пусть функции определенные внутри слабо сходятся к некоторой функции где любая область, лежащая строго внутри имеют в D обобщенные производные вида (122) и нормы ограничены некоторым числом , которое зависит от выбора . Тогда имеет в D обобщенную производную вида (122), равную слабому пределу

Доказательство. В силу слабой компактности ограниченных множеств в при из неравенства

вы 1 екает существование подпоследовательности такой, что слабо сходятся в . Беря последовательность строго внутренних расширяющихся областей сходящихся к D, мы с помощью диагонального процесса построим подпоследовательность для которой производные слабо сходятся в к некоторой функции в любой строго внутренней подобласти . Ясно, что определена всюду в D и принадлежит для любой строго внутренней области

Равенство (123) справедливо при замене на Переходя в нем к пределу при фиксированной функции приходим ввиду финигносги к равенству (124), (слабая сходимость), откуда следует, что есть обобщенная производная в D. Из сказанного выше вытекает, что любая слабо сходящаяся подпоследовательность имеет один и тот же предел у(х) (единственность обобщенной производной), и отсюда легко заключить, что и вся последовательность слабо сходится к

Замечания. 1. Из доказанной теоремы следует, что если и производные средних функций имеют оценку (131), то в D существует обобщенная производная Мы уже видели, что в этом случае и, следовательно, норма удовлетворяет оценке (131).

2. В условиях теоремы 2 функции могут принадлежать соответственно и при

Теорема 2 сохраняет силу при если вместо (131) предположить слабую компактность функций для всякой строго внутренней подобласти D области