69. Перестановка порядка интегрирования.

Укажем еще одну теорему, касающуюся перестановки порядка интегрирования.

Теорема. Пусть функция суммируема по t на промежутке для всех значений из промежутка и ограниченной вариации по на этом промежутке для всех значений t из кроме, может быть, множества значений t, имеющего лебегову меру, равную нулю. Пусть далее полная вариация по отношению к на промежутке при всех указанных значениях t не превышает некоторой неотрицательной и измеримой на функции F(t), для которой существует интеграл

При этом функция

есть функция ограниченной вариации от на и для любой непрерывной на функции имеет место формула

причем интегралы суть интегралы Лебега.

Для доказательства того, что функция (159) есть функция ограниченной вариации, разобьем промежуток на части: и составим сумму для этого разбиения. Мы получим

откуда

Но, по условию теоремы,

и, следовательно,

откуда и вытекает, что функция (159) есть функция ограниченной вариации Напишем очевидную формулу:

где — некоторая точка промежутка . При беспредельном измельчании частичных промежутков правая часть этой формулы стремится к интегралу, стоящему в правой части формулы (160). Для непрерывной в промежутке функции имеет неравенство , где L — некоторое положительное число. Для подынтегральной функции интеграла, стоящего в левой части формулы (161), имеем оценку

Применяя теорему 1 из [54], мы видим, что в интеграле, стоящем в левой части формулы (161), можем при беспредельном измельчании промежутков переходить к пределу под знаком интеграла, причем упомянутая подынтегральная функция в пределе дает интеграл Стилтьеса:

Окончательно предельный переход в формуле (161) и приводит нас к формуле (160). Доказанная теорема допускает некоторые элементарные обобщения. Можно, например, считать промежуток бесконечным и функцию f(x) непрерывной внутри этого промежутка и ограниченной. Интеграл Лебега по t можно заменить интегралом Лебега-Стилтьеса. Первоначальный интеграл Стилтьеса по можно заменить общим интегралом Стилтьеса и считать функцию лишь ограниченной на промежутке При этом из существования интеграла, стоящего в правой части формулы (160), будут следовать существование интеграла, стоящего в левой части, и равенство этих интегралов.