134. Пространства Н и l2.

Пусть

какая-либо полная ортонормированная система в N. Пользуясь ею, мы можем отобразить И биоднозначно в пространство элементами которого являются бесконечные последовательности комплексных чисел при условии, что ряд

сходится [121]. Любой элемент характеризуется своими коэффициентами Фурье: и имеет место представление

Наоборот, если дан элемент из то ряд (73) сходится в Н и дает соответствующий элемент из Н. Соответствие это

биоднозначно, причем скалярное произведение в И равно скалярному произведению соответствующих элементов [60, 121]:

где соответствует . Тем самым равна норме соответствующего элемента в и сходимости в Н и равносильны. Мы имеем, таким образом, изоморфное отображение в . Элементам ортонормированной системы (71) соответствуют следующие элементы

Пусть некоторый элемент урезанный элемент, у которого первые - составляющих равны соответствующим составляющим , а остальные равны нулю. Мы имеем

и, в силу сходимости ряда

Пусть А — некоторый линейный оператор в Н. Принимая во внимание его непрерывность и формулу (73), можем написать

Составляющие элемента соответствующего элементу у, определятся формулой

Мы использовали при этом непрерывность скалярного произведения. Вводя числа

видим, что линейному оператору А в соответствует в оператор

который определяется бесконечной матрицей с элементами . Сопряженному оператору А будет соответствовать матрица с элементами

т. е.

Самосопряженный оператор характеризуется равенством

Введем множество L элементов представимых в виде

где — любые комплексные числа и — фиксированное целое положительное число. Мы имеем и нетрудно показать, что L — подпространство. Ортогональное к нему подпространство М есть, очевидно, множество элементов представимых в виде

где - такие комплексные числа, что ряд

сходится. Пространство Н представимо в виде [122]:

Обозначая через проекторы в L и имеем

Пусть А — некоторый линейный оператор. Введем следующие два оператора:

В силу . Поскольку при любом

где

т. е.

откуда следует, что есть конечномерный оператор. Совершенно аналогично имеем

Таким образом, элементу будет соответствовать элемент составляющие которого определяются формулами

Положим теперь, что А — вполне непрерывный оператор, и U есть множество нормированных элементов При этом, если то компактное множество, и тем самым будет компактным и соответствующее множество в Составляющие элементов этого множества определяются формулой и, в силу компактности, мы можем утверждать, что при любом нормированном существует такое положительное число С, что

и что при любом заданном существует такое целое положительное число что [92]

Но из (85) следует, что

и потому при любом заданном существует такое что при . Мы пришли к следующей теореме.

Теорема . Если А — вполне непрерывный оператор и любое заданное число, то существует такое целое положительное число , что для определенного выше оператора мы имеем

Взяв последовательность положительных чисел стремящуюся к нулю, получим последовательность конечномерных операторов такую, что стремится к нулю, т. е. всякий вполне непрерывный оператор есть предел по норме конечномерных операторов.

Принимая во внимание сказанное в [133], мы можем утверждать, что следующее определение вполне непрерывного оператора равносильно исходному (линейный оператор, преобразующий всякое ограниченное множество в компактное).

Определение. Линейный оператор называется вполне непрерывным, если он является пределом по норме последовательности конечномерных операторов.