Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
134. Пространства Н и l2.
Пусть
какая-либо полная ортонормированная система в N. Пользуясь ею, мы можем отобразить И биоднозначно в пространство
элементами которого являются бесконечные последовательности комплексных чисел
при условии, что ряд
сходится [121]. Любой элемент
характеризуется своими коэффициентами Фурье:
и имеет место представление
Наоборот, если дан элемент
из
то ряд (73) сходится в Н и дает соответствующий элемент из Н. Соответствие это
биоднозначно, причем скалярное произведение в И равно скалярному произведению соответствующих элементов
[60, 121]:
где
соответствует
. Тем самым
равна норме соответствующего элемента в
и сходимости в Н и
равносильны. Мы имеем, таким образом, изоморфное отображение
в
. Элементам
ортонормированной системы (71) соответствуют следующие элементы
Пусть
некоторый элемент
урезанный элемент, у которого первые
- составляющих равны соответствующим составляющим
, а остальные равны нулю. Мы имеем
и, в силу сходимости ряда
Пусть А — некоторый линейный оператор в Н. Принимая во внимание его непрерывность и формулу (73), можем написать
Составляющие
элемента
соответствующего элементу у, определятся формулой
Мы использовали при этом непрерывность скалярного произведения. Вводя числа
видим, что линейному оператору А в
соответствует в
оператор
который определяется бесконечной матрицей с элементами
. Сопряженному оператору А будет соответствовать матрица с элементами
т. е.
Самосопряженный оператор характеризуется равенством
Введем множество L элементов
представимых в виде
где
— любые комплексные числа и
— фиксированное целое положительное число. Мы имеем
и нетрудно показать, что L — подпространство. Ортогональное к нему подпространство М есть, очевидно, множество элементов
представимых в виде
где
- такие комплексные числа, что ряд
сходится. Пространство Н представимо в виде [122]:
Обозначая через
проекторы в L и
имеем
Пусть А — некоторый линейный оператор. Введем следующие два оператора:
В силу
. Поскольку
при любом
где
т. е.
откуда следует, что
есть конечномерный оператор. Совершенно аналогично имеем
Таким образом, элементу
будет соответствовать элемент
составляющие которого определяются формулами
Положим теперь, что А — вполне непрерывный оператор, и U есть множество нормированных элементов
При этом, если
то
компактное множество, и тем самым будет компактным и соответствующее множество в
Составляющие элементов этого множества определяются формулой
и, в силу компактности, мы можем утверждать, что при любом нормированном
существует такое положительное число С, что
и что при любом заданном
существует такое целое положительное число
что [92]
Но из (85) следует, что
и потому при любом заданном
существует такое
что
при
. Мы пришли к следующей теореме.
Теорема
. Если А — вполне непрерывный оператор и
любое заданное число, то существует такое целое положительное число
, что для определенного выше оператора
мы имеем
Взяв последовательность положительных чисел
стремящуюся к нулю, получим последовательность конечномерных операторов
такую, что
стремится к нулю, т. е. всякий вполне непрерывный оператор есть предел по норме конечномерных операторов.
Принимая во внимание сказанное в [133], мы можем утверждать, что следующее определение вполне непрерывного оператора равносильно исходному (линейный оператор, преобразующий всякое ограниченное множество в компактное).
Определение. Линейный оператор называется вполне непрерывным, если он является пределом по норме последовательности конечномерных операторов.