63. Интеграл по множеству бесконечной меры.

До сих пор мы рассматривали интеграл на измеримом множестве конечной меры. Распространение на случай множеств бесконечной меры производится по существу так же, как это мы делали при определении интеграла Римана по бесконечному промежутку. Пусть на измеримом множестве бесконечной меры задана измеримая и неотрицательная функция Рассмотрим какую-либо возрастающую бесконечную последовательность множеств конечной меры

для которой является предельным множеством. Мы можем построить множества например, как произведение множества на промежуток Для ограниченных множеств существуют интегралы

которые в силу неотрицательности не убывают при возрастании Предел монотонной последовательности (130) мы и назовем интегралом от по

Отметим, что интегралы (130) могут равняться и При этом и интеграл от по также очевидно равен Может случиться, что все интегралы (130) конечны, а интеграл по равен . Для того, чтобы оправдать данное выше определение интеграла, мы должны показать, что предел числовой последовательности (130) не зависит от выбора монотонно возрастающей последовательности множеств

Теорема. При любом выборе возрастающей последовательности измеримых множеств конечной меры, стремящейся к , интегралы (130) имеют один и тот же предел.

Доказываем от обратного. Пусть кроме последовательности множеств (129) имеется другая возрастающая последовательность множеств конечной меры имеющая предельным множеством, и такая, что мы имеем различные пределы последовательности интегралов (130) для множеств .

Число а во всяком случае конечно, и мы имеем

Положим сначала, что и число b конечно.

Выбрав положительное число можем фиксировать такое значение целого положительного числа , что

В силу неотрицательности

Рассмотрим множества При возрастании они возрастают, и, поскольку для предельным множеством является , для множеств предельным множеством будет , откуда следует, что

Так как b конечно, то суммируемо на и, в силу формулы (136) и абсолютной непрерывности интеграла от мы имеем

а это противоречит неравенствам (134) и (135). Если то вместо возьмем выбрав N и настолько большими, чтобы имело место неравенство

В силу (133), будем иметь также

Прежнее рассуждение приведет нас к противоречию, и, таким образом, теорема доказана.

Если величина интеграла неотрицательной функции по конечна, то говорят, что суммируема на . Из этого и данного выше определения непосредственно следует, что если суммируема, и неотрицательная функция удовлетворяет на неравенству суммируема. Рассмотрим теперь измеримую на функцию, которая может менять знак, и разложим ее на положительную и отрицательную части:

Функция называется суммируемой на , если суммируемы При этом величина интеграла определяется формулой.

Если только одна из функций суммируема, то, как и в [62], интеграл от будет иметь смысл, но его величина будет или Большей частью множеством , на котором производится интегрирование, является вся плоскость или вся прямая или вообще все -мерное пространство.

Для интегралов на измеримом множестве бесконечной меры справедлива теорема из [52] и свойства 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 и 10. Мы докажем только полную аддитивность и абсолютную непрерывность. Доказательство теоремы и остальных свойств совершенно просто. Предварительно докажем следующую простую лемму.

Лемма. Если неотрицательные числа не убывают при возрастании s и то, обозначая.

мы имеем

Доказываем от обратного. Отметим, что написанная сумма может иметь значение Обозначая через а предел положим сначала, что

Для достаточно больших значений будем иметь где с — сумма ряда (139) и, фиксируя такое s, мы можем указать столь большое , что

а потому и подавно

что противоречит Положим теперь, что

Тем самым будем иметь для некоторого фиксированного :

Мы можем теперь выбрать настолько большое s, чтобы иметь

Написанная конечная сумма очевидно и потому что нелепо, так как последовательность стремится к не убывая. Лемма доказана.

Переходим к доказательству полной аддитивности интеграла. Пусть суммируема на и это множество разбито на конечное или счетное число измеримых множеств конечной или бесконечной меры. При этом будет суммируемой на каждом . Положим далее, что возрастающая последовательность множеств конечной меры, стремящаяся к . Вводим в рассмотрение множества конечной меры. Они возрастают при возрастании причем

множества, стоящие справа, попарно без общих точек. Для множества конечной меры мы имеем

Считая дока функцию положительной, переходя в этой формуле к пределу при и пользуясь доказанной леммой, мы и получим формулу (20) из [49]. В общем случае утверждение справедливо на основании формулы (137) и того факта, что оно справедливо в отдельности для и

Совершенно так же доказывается свойство 6 из [49]. Докажем абсолютную непрерывность интеграла. Считаем, что и суммируема на . Задано положительное s. Берем настолько большим, чтобы имело место неравенство

Для любого множества , содержащегося в , можем написать

В силу абсолютной непрерывности интеграла на множестве конечной меры существует такое что абсолютное значение интеграла по не больше при Принимая во внимание (140), можем утверждать то же самое и для интеграла по откуда следует, что абсолютное значение интеграла по не больше , если что и доказывает абсолютную непрерывность интеграла.

Теоремы 1, 2, 3, 4 из [54] также без труда переносятся на случай множества бесконечной меры. Для примера докажем теорему 1. Пусть s — заданное положительное число. Выбираем настолько большое чтобы иметь неравенство

Оцениваем затем интеграл от разности

На множестве пользуемся оценкой и, в силу (141), получим

Для множества конечной меры теорема 1 уже доказана, и, следовательно, существует такое при первое слагаемое правой части (142) s. Таким образом, получаем

что, ввиду произвольности в, и доказывает теорему. Совершенно аналогично доказываются и остальные теоремы из [54].