39. Независимость от выбора осей.

Сделаем еще некоторые замечания по поводу независимости меры от выбора осей. Первоначальная функция была определена на полуоткрытых прямоугольниках, стороны которых параллельны осям X и Y.

Тело содержит полуоткрытые прямоугольники плоскости с любым направлением сторон, ибо всякий такой прямоугольник есть разность замкнутого прямоугольника и замкнутого множества точек, состоящее из двух сторон и трех вершин прямоугольника. Таким образом, функция определена, в частности, на всех полуоткрытых прямоугольниках А, стороны которых параллельны некоторой другой декартовой системе осей причем функция на этих прямоугольниках аддитивна и нормальна. Если мы, выбирая новые оси будем исходить из функции и распространять ее так, как это указано выше, то придем к некоторому телу Нетрудно показать, что это тело совпадает с телом и что при новом распространении, которое мы производим, исходя из получим на всех промежутках те же значения , которые имели и при прежнем распространении, которое производили, исходя из . В основе этого утверждения лежит тот факт, что всякое открытое множество О можно представить или как сумму промежутков , попарно без общих точек, или как сумму Апопарно без общих точек, причем

Отсюда, в силу теоремы 4 из [36], непосредственно следует, что внешние меры любого множества в обеих системах координат будут одни и те же. Из определения измеримости непосредственно следует далее, что измеримость множества будет иметь место одновременно в обеих координатных осях, т. е. тело совпадает с телом . Совпадение мер в обеих осях непосредственно вытекает из того, что, в силу указанной выше теоремы, есть точная нижняя граница мер открытых множеств, покрывающих . Отметим еще, что если есть обычная площадь прямоугольника А, т. е. мера Лебега , то и есть обычная площадь [ср. II; 92].