88. Примеры применения принципа сжатых отображений.

1. Рассмотрим систему -уравнений с неизвестными:

где — численный параметр. Будем рассматривать правые части, как оператор из примененный к элементу и действующий во всем . Из неравенства Коши получим

Таким образом, принцип сжатых отображений будет применим в если

2. Рассмотрим бесконечную систему уравнений

причем мы считаем, что последовательность есть элемент т. Если

есть конечное положительное число, то правые части (22) дают оператор А из в , определенный во всем ту и принцип сжатых отображений применим, если Если есть элемент и

то правые части (22) дают оператор из определенный во всем и принцип сжатых отображений применим, если . Отметим, что единственность решения имеет место в указанных пространствах, но могут существовать решения, не принадлежащие этим пространствам.

3. Рассмотрим интегральное уравнение (одномерный случай)

где конечный промежуток и непрерывна в квадрате Если непрерывна на то правая часть (23) есть

оператор из определенный во всем С, и принцип сжатых отображений применим к уравнению (23), если

Если на Q и на данном случае промежуток может быть и бесконечным), то правая часть есть оператор из определенный на всем и принцип сжатых отображений применим к уравнению (23), если

Сказанное выше справедливо и для многомерных интегральных уравнений,

4. Рассмотрим нелинейное интегральное уравнение:

где конечный промежуток, непрерывная функция своих аргументов при а , где С — данное положительное число. При любом выборе функции непрерывной при и удовлетворяющей условию непрерывная функция в указанном выше квадрате Q. Пусть при . Если , то правая часть (24) есть оператор у которого есть сфера , где есть непрерывная функция, равная нулю на и R (А) принадлежит этой же сфере. Отметим, что неравенство можно записать в виде . Положим, кроме того, что ядро по третьему аргументу удовлетворяет условию Липшица, т. е.

если . При этом

и, следовательно, при соблюдении условий

к уравнению (24) применим принцип сжатых отображений в указанной выше сфере. Это уравнение имеет единственное решение в указанной сфере, которое может быть построено по методу последовательных приближений при любом выборе начального приближения из этой сферы. Рассмотренный метод дает равномерную сходимость приближений к решению на промежутке .

5. Пусть - область трехмерного пространства, ограниченная поверхностью Ляпунова S. Рассмотрим краевую задачу для эллиптического уравнения:

где — оператор Лапласа. Мы считаем, что непрерывна в четырехмерной замкнутой области пространства , соответствующей

изменению в замкнутой области D при , и имеет непрерывные производные по своим аргументам внутри этой области, причем эти производные непрерывны вплоть до ее границы. Положим далее, что при и

при указанных условиях . Пусть — функция Грина оператора Лапласа для области D при предельном условии (26) [IV; 220]. Введем точки из D. Решение задачи (25) и (26) равносильно решению интегрального уравнения

в пространстве С (D) функций и (Q), непрерывных в Известно, что в и существует конечный

Если с, то правая часть (27) есть оператор в С (D), у которого есть сфера (т. е. с в D) и R (А) принадлежит этой сфере. Принцип сжатых отображений применим к уравнению (27), если Таким образом, при выполнении условий

задачи (25) и (26) имеет в сфере одно единственное решение. Оно может быть получено по методу последовательных приближений, примененному к (27) при любом выборе начального приближения из указанной сферы, и приближения сходятся равномерно к решению в