так же можно показать, что
, и, следовательно,
. Это равенство непосредственно вытекает также и из следствия теоремы 4 предыдущего параграфа в силу того, что
имеет определенный предел при беспредельном измельчании промежутков.
Бесконечность промежутка интегрирования не играет существенной роли в случае интеграла Стилтьеса. Надо только выяснить, что мы понимаем под беспредельным измельчанием частичных промежутков при разбиении бесконечного промежутка на части. Рассмотрим, например, промежуток
. Мы будем говорить, что для последовательности разбиений этого промежутка на конечное число частичных промежутков эти последние беспредельно измельчаются, если при любом заданном положительном А наибольшая из разностей
для тех промежутков
которые имеют общие точки с
, стремится к нулю. Если
непрерывна в промежутке
и строго возрастает, т. е.
при
то замена переменной
преобразует промежуток
в конечный промежуток
причем
Разбиения с беспредельным измельчанием частичных промежутков для
сводятся к обычным разбиениям с беспредельным измельчанием частичных промежутков для конечного промежутка
Если, например,
непрерывна в замкнутом промежутке
ограничена и не убывает, то интеграл по-прежнему существует. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно, например, ввести вместо
новую переменную
Полагая
мы выразим интеграл по бесконечному промежутку
через интеграл по конечному промежутку
причем
непрерывна и
ограничена и не убывает в промежутке
Укажем один практически важный случай видоизменения основной теоремы существования интеграла Стилтьеса:
Теорема 2. Если
непрерывна внутри промежутка интегрирования и ограничена, а неубывающая функция
непрерывна на концах промежутка, то
интегрируема по
Положим, что промежутком интегрирования является бесконечный промежуток
Оценим слагаемые, стоящие в правой части формулы (19). В силу ограниченности
мы имеем
, где L — определенное положительное число, и, следовательно,
. Те слагаемые суммы (19), которые соответствуют промежуткам
не имеющим общих точек
, дадут сумму, не большую, чем
В силу предположенной непрерывности
в точках
можно выбрать А настолько большим, чтобы выражение (20) было меньше любого заданного положительного в. Фиксируем таким образом А и рассмотрим остальные слагаемые суммы (19). Соответствующие им промежутки
или целиком укладываются в
, или крайние два из них могут выходить из
, причем длина выходящих частей не больше
где
наибольшая из разностей
для промежутков, имеющих общие точки с
. При беспредельном измельчании частичных промежутков это число
стремится к нулю, и, начиная с некоторого этапа подразделения, оно будет во всяком случае меньше единицы. Таким образом, все промежутки
которые мы сейчас рассматриваем, начиная с некоторого этапа подразделения, будут принадлежать промежутку
на котором функция
равномерно непрерывна. В силу этого для всех достаточно малых значений
будем иметь
в, и при этом для тех слагаемых суммы (19), которые соответствуют промежуткам
имеющим общие точки с
, мы будем иметь оценку
и сумма этих слагаемых будет не больше, чем
Окончательно неравенство (19) даст нам
откуда, ввиду произвольности
, и следует, что и теорема доказана.
Отметим некоторые дополнительные свойства интеграла Стилтьеса для случая непрерывной функции
и возрастающей функции
Если
то имеем оценку
которая получается из очевидной оценки суммы
при переходе к пределу. Имеет, очевидно, место теорема о среднем [ср. I; 92]:
Положим теперь, что последовательность непрерывных в
функций
стремится равномерно в этом промежутке к предельной функции
Последняя функция будет также непрерывной в
и, следовательно, интегрируемой по
. Для любого заданного положительного в существует, в силу равномерной сходимости последовательности
такое
что
в для
принадлежащих
если
Пользуясь оценкой (21), получаем
откуда, в силу произвольности в, следует
Пользуясь такими же оценками, что и при доказательстве теоремы 2, можно легко доказать, что формула (22) остается справедливой при следующих предположениях: функции
непрерывны внутри
и ограничены одним и тем же числом, т. е.
где положительное число L одно и то же для всех
равномерно во всяком замкнутом промежутке, лежащем внутри
непрерывна на концах промежутка