97. Операторы в нормированных пространствах.

Выше мы определили операторы в метрических пространствах А. В линейных нормированных пространствах появляются новые моменты. Мы будем считать, что оператор А определен на некотором пространства X типа В, а множество его значений принадлежит некоторому пространству X тоже типа В. Оператор называется дистрибутивным, если для и любых чисел соблюдено условие

Достаточно проверить, что Из (43) непосредственно следует, что есть линеал в X и что если д есть нулевой элемент в — в , то Действительно, , где , но .

Дальше будем говорить лишь о дистрибутивных операторах, определенных на линеалах. Напомним определение непрерывности. Оператор А называется непрерывным на элементе при соблюдении следующего условия: если в X, то . Легко показать, что если

дистрибутивный оператор А непрерывен на некотором элементе то он непрерывен и на любом элементе Пусть надо доказать, что Строим элементы из , причем Имеем и, в силу имеем

Таким образом, не имеет смысла говорить о непрерывности на элементе , но о непрерывности на всем . Дистрибутивный оператор А называется ограниченным, если существует такое положительное число С, что для любого D (Л):

Отметим, что справа норма берется в X, а слева в . Покажем, что для дистрибутивного оператора ограниченность и непрерывность на равносильны.

В силу сказанного выше, достаточно рассматривать непрерывность на нулевом элементе 6. Пусть имеет место (44). Докажем, что если то Из следует, что при любом заданном существует такое , что при и, в силу при откуда, ввиду произвольности в, и следует, что Положим теперь, что если и докажем (44). Если то (44) приводится к неравенству т. е. , которое выполнено (со знаком при любом выборе С, и достаточно доказать (44) при . Доказываем от обратного. Если (44) не имеет места, то существует такая последовательность что где

Вводя элементы у которых получаем что противоречит непрерывности оператора на нулевом элементе.

Если А есть оператор апулирования, т. е. для любого то в (44) можно положить . Для всякого другого оператора обязательно и существует наименьшее положительное С, при котором имеет место неравенство (44). Оно называется нормой оператора А и получается по формуле:

Норму оператора обозначают также символом так что мы можем написать

Сказанное выше совершенно аналогично тому, что мы имели, например, в для частного случая.

Теорема . Если для дистрибутивного ограниченного оператора А линеал плотен в X, то А можно распространить на все X с сохранением дистрибутивности и нормы. Поскольку можем любой элемент представить как предел , где . Покажем, что в X существует предел который не зависит от того, какую именно последовательность мы взяли. Действительно,

и, в силу правая при тогда и и, в силу полноты существует предел . Остается доказать независимость предела от выбора последовательности Пусть причем Надо доказать, что пределы совпадают. Самое существование пределов вытекает из предыдущего.

Нетрудно видеть, что последовательность имеет предел Следовательно, и последовательность имеет некоторый предел Но тогда и подпоследовательности имеют тот же пределу, т. е. одинаковый предел.

Если но то берем какую-нибудь последовательность и. полагаем Докажем, что определенный таким образом в X оператор дистрибутивен и его норма при переходе от к X не увеличилась. Пусть и две последовательности из , имеющие пределы и например, то можно положить все Принимая во внимание, что в оператор дистрибутивен, а также непрерывность сложения и умножения на число, получим

Сохранение нормы вытекает из неравенства в котором справа есть норма А в , после перехода к пределу. Норма не может, очевидно, понизиться. Теорема доказана.

Указанный выше способ распространения А называют обычно распространением по непрерывности.

Покажем еще, что распространение А из на в известном смысле единственно: если В — дистрибутивный ограниченный в X оператор, совпадающий с А на , то В везде совпадает с расширением непрерывности. Пусть . В силу непрерывности В и совпадения В и А на имеем

что и требовалось доказать. Если оператор А определен во всем пространстве X, дистрибутивен и ограниченен, то будем называть его линейным оператором (иногда в этом случае говорят — ограниченный линейный оператор). Если различным из линеала соответствуют различные из , то существует обратный оператор, определенный на и сопоставляющий каждому из один единственный элемент из связанный с соотношением Из дистрибутивности А непосредственно следует дистрибутивность и . Но из ограниченности А не следует ограниченность

В качестве примера рассмотрим в пространстве С на отрезке [0,1] оператор :

причем мы считаем, что X есть то же самое пространство С. Это возможно, ибо на [0,1]. Оператор (47) переводит все С в линеал, состоящий из функций имеющих непрерывную производную и равных нулю при На этом линеале функций существует обратный дистрибутивный оператор но он неограничен. Действительно, функции принадлежащие этому линеалу, имеют норму 1 при любом выборе числа , а имеет норму которая беспредельно растет при .

Теорема 2. Если В — линейный оператор в то оператор где Е — оператор тождественного преобразования (т. е. имеет обратный определенный во всем X, дистрибутивный и ограниченный.

Рассмотрим уравнение

где у — заданный и искомый элемент X. Нетрудно проверить, что оператор обозначение из [36]) удовлетворяет условию применимости принципа сжатых отображений. Действительно,

Таким образом, уравнение (48) или (49) имеет единственное решение при любом т. е. существует обратный оператор определенный во всем X. Его дистрибутивность очевидна. Докажем ограниченность. Имеем

и тем более

откуда следует, что норма не больше .

Теорема 3. Линейный оператор преобразует компактное множество в компактное. Пусть U — компактное множество элементов какая-либо последовательность элементов U и А — линейный оператор. Нам надо доказать, что из последовательности можно выбрать сходящуюся в X подпоследовательность. Из компактности U следует существование под последовательности имеющей предел: в X. При этом, в силу непрерывности , имеем в X, что и требовалось доказать.

Приведем без доказательства еще следующую теорему:

Теорема 4. Если в пространстве X (типа В) определен линейный оператор А, преобразующий X биоднозначно во все пространство (типа В), то обратный оператор (определенный во всем ) есть также линейный оператор.