Но всякое компактное множество ограничено, т. е. существует такое положительное число С, что 
при 
откуда и следует, что А — ограниченный оператор. Таким образом определение вполне непрерывного оператора можно сформулировать и следующим образом: дистрибутивный оператор А, определенный во всем X, называется вполне непрерывным, если он преобразует всякое ограниченное множество в компактное. Из указанного выше следует, что определенный таким образом вполне непрерывный оператор будет и линейным оператором.
Теорема 1. Если А вполне непрерывный оператор и 
то 
. Мы знаем, что 
если А — линейный оператор. По условию теоремы 
и потому последовательность чисел 
ограничена. Из последовательности 
в силу полной непрерывности А, можно выбрать подпоследовательность, которая сильно сходится к некоторому элементу 
. С другой стороны, из сказанного выше следует, что эта подпоследовательность слабо сходится к 
и потому 
Следовательно, всякая сильно сходящаяся подпоследовательность из последовательности 
сильно сходится к 
Нам надо доказать, что вся эта последовательность сильно сходится к 
.
Доказываем от обратного. Предполагаем, что существует такое число О и такая бесконечная подпоследовательность 
, что 
Из последовательности 
можно выбрать сильно сходящуюся подпоследовательность, и эта подпоследовательность, как указано выше, должна сильно стремиться к 
что противоречит неравенству 
Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть 
последовательность вполне непрерывных операторов, которые по норме стремятся к линейному оператору 
. При этом и оператор А вполне непрерывен. Надо доказать, что А преобразует всякую ограниченную последовательность элементов 
в компактную. Последовательность 
при любом фиксированном 
компактна. С другой стороны, из сходимости по норме следует равномерная сходимость на всяком ограниченном множестве. Таким образом, для любого заданного 
существует такое 
, что 
Атхп 
имеет компактную 
сеть 
откуда и следует компактность 
Можно показать, что если А — вполне непрерывный оператор, то и А, определенный в X и имеющий область значений в X, также вполне непрерывен.
Мы докажем это в дальнейшем для операторов в гильбертовом пространстве. Для этого пространства мы изложим теорию вполне непрерывных операторов более подробно.
называется вполне непрерывным, если всякое ограниченное в X множество он преобразует в компактное в 
. Нетрудно видеть, что дистрибутивный оператор А, определенный во всем X и преобразующий всякое ограниченное множество в компактное, есть ограниченный оператор, т. е. линейный оператор. Действительно, по условию А преобразует сферу 
в компактнее множество 