116. Интегральные представления С. Л. Соболева.

Будем предполагать теперь, что область D звездна по отношению ко всем точкам некоторого шара К, лежащего внутри D. Центр этого шара примем за начало координат и через R обозначим его радиус. Введем следующую бесконечно дифференцируемую функцию [71]:

где постоянная С выбрана так, что интеграл от по К равен единице.

Пусть и какая-либо непрерывная и непрерывно дифференцируемая в D функция. Вводя сферические координаты с началом в некоторой точке мы можем рассматривать и как функцию где через обозначаем совокупность угловых сферических координат [IV; 156], т. е. , причем и . Рассмотрим интеграл от произведения и по D. Фактически интегрирование ограничивается шаром К. Представляя в виде и интегрируя по частям по переменной , получим

и окончательно

где

и точка у строится по сферическим координатам с началом в Функция ограничена, если и непрерывна при . Если по прямолинейному лучу, то имеет предел

зависящий от угловых координат луча. Из определения непосредственно следует, что если принадлежит шару то (х, у) = 0 для у, принадлежащих D и лежащих вне а если находится вне К, то для у, принадлежащих D и лежащих вне области, образуемой шаром К и той частью конуса с вершиной касательного к шару, которая лежит между и шаром К. Принимая во внимание формулу

получим, в силу (180),

где

Ядра обладают, очевидно, теми же свойствами, что и ядро ограничены при непрерывны при и обращаются в нуль в указанной выше части области D.

Предположим теперь, что и непрерывна и имеет непрерывные производные до порядка в D и выведем формулу, выражающую и через ее производные порядка . Пользуясь формулой (182), можем написать

где

Подставляя (184) в (182) и пользуясь теоремой 3 из [115], получим

где

причем ядра обладают теми же свойствами, что ядро в силу теоремы 1 из [115] (при ), непрерывны в D. Аналогично получается представление и через производные порядка

где непрерывны в D и ядра обладают теми же свойствами, что и ядро

и суммирование по есть суммирование по всем видам производных порядка Отметим, что в случае ядра в представлении (188) ограничены [115].

Отметим также, что величины являются линейными функционалами в . В этом можно убедиться, представляя их в виде

Перейдем теперь к рассмотрению пространства W (D). Напомним, что норма в нем задается формулой

(одна из эквивалентных норм [112]). Покажем, что интегральное представление (188) справедливо для любой функции и Пусть последовательность функций из , сходящаяся к и в [111]. Записывая (188) для функций и придавая величинам форму (190), перейдем к пределу при . В силу теорем 1 и 2 из [115] интегральные операторы с ядрами непрерывны в что позволяет перейти к пределу под знаком интеграла. Таким образом, интегральное представление (188) справедливо для любых функций из Покажем теперь, что функции из имеют всевозможныобобщенные производные любого порядка из . Применяя формулу (182) к производной от порядка получим

где

На основании теоремы 1 или 2 из [115] в зависимости от того, будет ли или мы можем утверждать, что интегральным оператор, стоящий в правой части (192), непрерывен как оператор из в или т. е. во всяком случае в По условию сходятся в норме отсюда следует, что при правая часть формулы (192) имеет предел в и, следовательно, функция и имеет в D обобщенные производные порядка из для которых справедлива формула (192) с заменой на и на

Используя интегральные представления производных любого порядка через производные порядка аналогичные (188) и (192), мы совершенно также установим существование всевозможных обобщенных производных низших порядков из Упомянутые интегральные представления при этом автоматически распространяются на все Отметим, что соответствующие интегральные операторы имеют ядра с полярностью порядка Ограниченность этих интегральных операторов в непосредственно приводит к оценке

откуда следует неравенство (152).

Величинам (190) можно теперь вернуть форму (189). Мы доказали, таким образом, что для звездных относительно некоторого шара областей пространства (состоят из одного и того же множества функций и, в силу (193), нормировки этих пространств эквиваленты

Интегральное представление (188) функций из (D) в несколько иной форме было получено С. Л. Соболевым (См. С. Л. Соболев „Некоторые применения функционального анализа в математической физикеи, ЛГУ, 1950).

Мы докажем теперь для звездных относительно шара областей общие теоремы вложения, сформулированные в [114], а затем покажем, каким образом перенести эти теоремы на более широкий класс областей. Наше утверждение относительно эквивалентности и также будет, тем самым, перенесено на упомянутый класс областей.