160. Степенной ряд от оператора.

Напомним еще лемму, доказанную в 1131], результат которой сводится к следующему: если нормы последовательности операторов не превышают положительных чисел которые образуют сходящийся ряд, то ряд

сходится, корма оператора А не превышает суммы чисел . В частности если имеется степенной ряд

который абсолютно сходится в промежутке и норма оператора А не превышает то сходится ряд

Для дальнейшего нам понадобится следующая формула бинома Ньютона:

где

Формула (325) дает арифметическое значение радикала и остается справедливой при . Коэффициенты разложения (326) положительны при нечетном и отрицательны при четном . Поэтому, полагая в формуле получим все члены, кроме первого, отрицательными, откуда следует

и ряд (325) сходится абсолютно и равномерно при Заменяя в формуле (291) t на получим слева абсолютное значение квадратного корня из т. е. абсолютное значение и будем иметь для него следующее разложение в абсолютно сходящийся ряд в промежутке 1:

Именно это разложение мы и применим к самосопряженному оператору. Пусть А — самосопряженный оператор с нормой . Составим самосопряженный оператор . Мы имеем

откуда видно, что при а норма С не превышает единицы. Мы имеем возможность составить ряд

Если отрезок ряда (328), то равномерно в промежутке и, следовательно, и в пределе самосопряженный оператор В, определяемый формулой (329), удовлетворяет условию

Далее, если оператор D коммутирует с А, то он коммутирует с отрезком ряда (329). и, следовательно, в пределе коммутирует с В. Из этого следует, в частности, что А коммутирует с В, т. е. .

Покажем еще, что В — положительный оператор. Принимая во внимание, что норма С не больше единицы, получим и, написав выражение (32,9) в виде

придем к неравенству

откуда, в силу (327), и следует, что

Таким образом, окончательно получаем следующие свойства: В есть самосопряженный, положительный оператор, коммутирующий с А и удовлетворяющий равенству всякий оператор, коммутирующий с А, коммутирует и с В. В следующем параграфе мы, пользуясь оператором В и леммой 1, построим спектральную функцию оператора А и докажем основную формулу (204) из [142].