169. Примеры.

1. В промежутке положим

Условие (59) для полиномов запишется в виде

Нетрудно проверить, что этим условиям удовлетворяют полиномы

Пользуясь формулой Moaвpa, легко показать, что написанная дробь есть действительно полином степени от Условия (79) проверяются непосредственной подстановкой, если ввести вместо X новую переменную, полагая Числа входящие в матрицу (64), определятся по формулам

Введя переменную и вычисляя полученные интегралы, будем иметь, при любом т. е. элементы соответствующей матрицы определяются формулами и остальные . Эта матрица имеет простой чисто непрерывный спектр. Единственное дифференциальное решение системы, согласно (50), определяется формулами

откуда Отбрасывая множитель видим, что система (34)

имеет решение где .

2. Рассмотрим на промежутке замкнутую ортогональную и нормированную систему Формулы (51) при

дадут нам следующие элементы для соответствующей матрицы: значки идут от до Согласно (50):

и формулы (78) приводят к равенствам

причем штрих у знака суммы показывает, что надо исключить значение Предыдущая формула может быть переписана в виде

или в виде

причем исключается значение Последняя формула представляет собой обычное разложение X в ряд Фурье, причем написанный ряд расходится на концах промежутка, т. е. при . Последнее происходит в силу того, что разложение написано в комплексной форме. Применим теперь формулу (56), полагая при при . Мы получим матрицу

или

Принимая во внимание, что в промежутке мы имеем следующую оценку для квадратичной формы [155]:

В этой оценке множитель слева может быть, очевидно, отброшен. Если положим при и остальные вещественными, получаем следующую оценку, данную Гильбертом:

Нетрудно показать, что матрице с элементами при уже не соответствует ограниченный оператор. Действительно, если мы положим при при то норма элемента будет равна единице, а соответствующая квадратичная форма будет

и последнее выражение беспредельно возрастает при возрастании , так как сумма беспредельно растет, а дробь стремится к единице. Мы не имеем в случае (80) абсолютной сходимости бесконечного двойного ряда, но можем утверждать, что для любых двух элементов из имеется предел

причем во внутреннем суммировании но исключается значение а слева те слагаемые, у которых

Рассмотрим теперь вместо системы вещественную замкнутую ортогональную нормированную систему

Применяя формулу (56), придем к матрице

или

Полагая, как и раньше, при мы получим следующую матрицу:

Аналогично неравенству (81), мы приходим к неравенству

где штрих показывает, что надо исключить слагаемые, для которых Неравенству (81) будет соответствовать неравенство

Все числа мы можем считать положительными, и написанный двойной ряд будет абсолютно сходящимся для любого элемента L, так что можем написать: