196. Случай смешанного спектра.

Сделаем сначала некоторые добавления к тому, что мы говорили в [191] о разбиении самосопряженного оператора А на операторы с чисто точечным и чисто непрерывным спектром. Пусть некоторое подпространство Н приводит А. При этом оно приводит и, обозначая через A и операторы, индуцированные А и в Н, мы можем утверждать, что есть разложение единицы в Н и

т. е. есть спектральная функция А. Пусть — операторы, индуцированные в подпространстве Если разложение причем то [191]:

Аналогичные формулы имеют место и в случае конечного или бесконечного числа попарно ортогональных подпространств, приводящих А. Вернемся теперь к обозначениям из [191] и положим, что Н не есть все И. В Н оператор А имеет чисто точечный спектр, а в оператор имеет чисто непрерывный спектр. При этом

а спектральная функция оператора выражаемая формулой не имеет разрывов непрерывности. Если А — неограниченный оператор, то один из операторов А или А" может быть и ограниченным. Так, например, если все точки разрыва непрерывности находятся на конечном промежутке, то А — ограниченный оператор. Положим, что А имеет чисто непрерывный спектр, и обозначим, как и в [147], через замкнутую линейную оболочку элементов Говорят, что А имеет простой непрерывный спектр, если существует такой элемент что совпадает с Н. При этом будут иметь место формулы (254) и (256) из [147] с интегралами Хеллингера по бесконечному промежутку. Эти интегралы являются пределами соответствующих сумм при разбиении бесконечного промежутка на конечное число частичных промежутков. Если то будут иметь место и (259) и (261) из [147]. Соответствующие интегралы мы можем рассматривать как несобственные с бесконечным промежутком интегрирования. Пользуясь неравенством [147]

мы можем показать, как и в [192], по отношению к суммам (55), что бесконечные суммы попарно ортогональных элементов, соответствующие интегралу (261) из [147], дают сходящийся ряд в силу того, что . В общем случае непрерывного спектра из доказательства теоремы 2 из [147] следует, что приводит при любом X, а потому оно приводит и А. Оператор, индуцированный в оператором А, имеет простой непрерывный спектр, и мы можем так же, как и в [147], разбить оператор с чисто непрерывным спектром на операторы с простым непрерывным спектром во взаимно ортогональных подпространствах, ортогональная сумма которых дает все И. Во всех формулах вместо одного интеграла Хеллингера мы будем иметь сумму таких интегралов. Совершенно так же, как и в [152], устанавливается связь между и

Пусть А — самосопряженный оператор и U — унитарный. Оператор определен на линеале D(А), который получается применением U к линеалу D(А). Покажем, что А — самосопряженный оператор. Действительно, пусть

для всех из . Надо показать, что и что Предыдущее равенство можно переписать в виде у, где есть любой элемент из или в виде откуда, ввиду самосопряженности А, следует, что что и требовалось доказать.

Пусть спектральная функция оператора А. При этом обладает всеми свойствами разложения единицы, и

. Если то и, следовательно, сходится ряд

и сумма

имеет, как и в [192], предел откуда видно, что есть спектральная функция А. Остается в силе и признак унитарной эквивалентности операторов, указанный [163].

Сохраняется без изменения понятие дифференциального решения и полной системы дифференциальных решений. Всякое непрерывное (в смысле пространства Н) дифференциальное решение имеет вид где при этом считается, что при