18. Общий интеграл Стилтьеса.

Мы переходим теперь к обобщению понятия интеграла Стилтьеса. Как уже упоминали в [3], мы получим такое обобщение, если потребуем лишь того, чтобы числа определенные в [3], совпадали. Кроме того, будем рассматривать интегрирование по промежутку любого типа и будем разбивать тоже на частичные промежутки любого типа, не имеющие общих точек ни внутри, на на концах. Мы допускаем, естественно, и отдельную точку как частичный промежуток.

Итак, пусть задан конечный или бесконечный промежуток и на нем определены ограниченные функции причем неубывающая функция. Делим на частичные промежутки любого типа без общих точек. Пусть и М — точная нижняя и точная верхняя границы на и — какая-либо точка из . Наряду с вводим функцию промежутков , определенную в [17], и составляем суммы:

Отметим некоторые обстоятельства, связанные с использованием любых промежутков. Если точка Р с абсциссой входит как самостоятельный элемент подразделения , то в суммах (100) соответствующее слагаемое одинаково и имеет вид Точки непрерывности не имеет смысла вводить как самостоятельные элементы подразделения, и можно в дальнейшем считать, что точки как самостоятельный элемент подразделения — суть точки разрыва

Если два промежутка, то их произведением называем множество точек, которые принадлежат одновременно и Это есть тоже промежуток или пустое множество. Пусть — два подразделения . Произведением подразделений называется подразделение состоящее из всевозможных промежутков где принадлежит принадлежит Промежутки очевидно, попарно без общих точек и их сумма дает основной промежуток . Подразделение о называется продолжением подразделения , если каждый элемент целиком находится в одном из элементов подразделения . Произведение есть продолжение как , так и . Если промежуток замкнут справа и есть правый конец , то при определении надо считать Аналогично на левом конце . Это относится и к тому случаю, когда или . Как и в [3], через обозначим точную верхнюю границу сумм и через точную

нижнюю границу при всевозможных законах подразделения. Для справедливо все сказанное в [3].

Определение. Мы будем, говорить, что интегрируема по если и величину i примем за величину интеграла

Определенный таким образом интеграл назовем общим интегралом Стилтьеса.

В отличие от общего интеграла мы будем называть интеграл, определенный в [2], просто интегралом Стилтьеса или первоначальным интегралом Стилтьеса. Дальше мы выясним условия существования и свойства общего интеграла.

Теорема 1. Для существования интеграла (101) необходимо и достаточно, чтобы существовала такая последовательность подразделений что разность стремится к нулю, или, что равносильно, имеет определенный предел при любом выборе точек Этот предел А и дает величину интеграла. При этом А и -А.

Эта теорема непосредственно следует из [3], причем в рассматриваемом случае частичные промежутки не имеют общих точек. Отметим, что последовательность подразделений от о которой говорится в теореме, не должна быть обязательно последовательностью с беспредельно измельчающимися промежутками. Если, например, существует такое подразделение что не зависит от выбора точек то можем взять все совпадающими с о.

Введем теперь новое понятие.

Определение. Последовательность подразделений называется регулярной для функции если выполнены следующие два условия: 1) каждая точка разрыва входит самостоятельным элементом подразделения во все начиная с некоторого значения n; 2) частичные промежутки подразделений беспредельно измельчаются при возрастании , причем в случае бесконечного промежутка А бесконечное измельчание надо понимать так, как это указано в [4].

Теорема 2. Если регулярная последовательность подразделений, то и l при любом выборе ограниченной функции

Пусть — любое заданное подразделение А и Будем брать «настолько большим, что, во-первых, все точки разрыва которые являются точками деления о, уже входили бы как самостоятельные элементы подразделения в и, во-вторых, так, чтобы всякий частичный промежуток содержал не больше одной точки деления о. В дальнейшем надо иметь в виду, что число таких точек фиксированно. Рассмотрим разность Слагаемые, соответствующие тем точкам деления о, которые являются точками разрыва в суммах и s, одинаковы, ибо, в силу сказанного выше, они самостоятельные элементы подразделения в и тем самым в о. Будем дальше говорить лишь о тех точках деления в которых непрерывна. Пусть их число равно q. Если частичный промежуток подразделения не содержит такой точки деления внутри себя, то соответствующие ему слагаемые в одинаковы. Остается не больше q частичных промежутков, входящих в от которые содержат упомянутые точки деления о внутри себя. Пусть точка деления S, находящаяся внутри частичного промежутка А подразделения При переходе от одно слагаемое вида заменится двумя слагаемыми вида причем содержит внутри

себя, а на концах (куда именно причислять неважно, ибо непрерывна в точке ). Через обозначены числа, которые не превышают по абсолютной величине точной верхней границы в А.

Поскольку в регулярной последовательности частичные промежутки беспредельно измельчаются при возрастании то это имеет место для и поскольку эти промежутки содержат внутри себя или на границе фиксированную точку непрерывности функции мы можем утверждать, что

Принимая еще во внимание, что число точек не превышает q, мы можем утверждать, что при

С другой стороны, мы имеем неравенства Подразделение можем выбирать так, чтобы было сколь угодно близким к т. е. при любом заданном положительном мы можем выбрать такое , что . Из неравенства будет при этом непосредственно следовать, что с s, и, наконец, полученный выше результат покажет нам, что при всех достаточно больших мы имеем т. е., в виду произвольности что и требовалось доказать. Совершенно аналогично доказывается, Отметим, что если непрерывна, то для регулярной последовательности характерным является лишь тот факт, что ее частичные промежутки беспредельно измельчаются. Это имеет место, например, для интеграла Римана, когда Ввиду неограниченности на бесконечном промежутке при построении собственного интеграла Римана мы должны были рассматривать лишь ограниченные промежутки.

Теорема 3. Если интеграл (111) существует и равен А, то для любой регулярной последовательности подразделений . Из условия теоремы непосредственно следует При этом и А, в силу теоремы, а потому удовлетворяющая неравенству и подавно стремится к А при любом выборе точек

Из доказанных теорем непосредственно вытекает следующее следствие. Если для некоторой регулярной последовательности существует предел , то он существует и для любой другой регулярной последовательности и равен тому же числу А. При этом интеграл существует и равен А. Если для некоторой регулярной последовательности не имеет определенного предела, то интеграл (111) не существует. Таким образом, использование сумм с регулярными последовательностями подразделений сразу решает вопрос о существовании основного интеграла Стилтьеса.

Отметим еще, что если есть регулярная последовательность для есть продолжение то и есть регулярная последовательность. Это вытекает непосредственно из определения регулярной последовательности.