36. Измеримые множества (продолжение).

Отметим ряд следствий из доказанных теорем об измеримых множествах. Элементарная фигура R, как сумма конечного числа промежутков, есть измеримое множество, и мера R, совпадающая с внешней мерой R, выражается формулой (25), где — какое-либо разбиение R на промежутке без общих точек. Обозначим через семейство измеримых множеств, причем значок G указывает на ту функцию которая послужила основой при построении упомянутого семейства. Мы распространили функцию на все множества g, принадлежащие причем полученная функция неотрицательная и, в силу теоремы 13, аддитивна не только для конечного, но и для счетного числа слагаемых множеств, не имеющих попарно общих точек. Пусть исчезающая последовательность множеств, принадлежащих и имеющих конечную меру, т. е. и предельное множество g для есть пустое множество. Из теоремы 16 непосредственно следует, что т. е. функция будет не только неотрицательной и аддитивной, но и нормальной для семейства множеств . Желая подчеркнуть ее аддитивность не только для конечного, но и для счетного числа множеств, входящих в мы будем называть эту функцию вполне аддитивной. Семейство содержит и неограниченные множества. Некоторые из них могут иметь конечную меру, а для других мера может быть равной Но, конечно, не всякое неограниченное множество обязано быть измеримым множеством. Часто при построении семейства измеримых множеств рассматривают лишь ограниченные множества или даже множества, принадлежащие определенному конечному промежутку. В предыдущем изложении мы не связывали себя таким ограничением. Отметим еще, что исходную функцию G(А) мы считали определенной для всех конечных промежутков. Если определена лишь для промежутков А, принадлежащих некоторому промежутку то ее можно естественно распространить на все промежутки А, пользуясь формулой причем надо помнить, что произведение промежутков есть также промежуток.

Семейство множеств зависит от выбора исходной функции Но при любом выборе этой функции оно содержит во всяком случае все промежутки, элементарные фигуры, открытые множества и замкнутые множества. В дальнейшем мы дадим более полную характеристику тех множеств, которые входят в при любом выборе G(А). Будем толковать функцию множеств как массу. Задание первоначальной функции сводится к заданию массы на любом промежутке А при выполнении, конечно, обычных условий неотрицательности, аддитивности и нормальности. Точечное множество g измеримо, если имеет смысл говорить о массе, находящейся на g, и есть эта масса.

Можно дать простой пример, когда множество содержит все точечные множества плоскости. Пусть имеется масса 1,

сосредоточенная в точке Р. При этом если промежуток А содержит Р, и если промежуток А не содержит Р. Нетрудно проверить, что семейство для такой функции G (А) содержит все множества, причем если g содержит Р, и если g не содержит Р.

Рассмотрим тот важный частный случай, когда равна площади промежутка А. Семейство для этого случая будем просто обозначать символом L. Здесь мы имеем расширение понятия площади для широкого семейства множеств L. Именно этот частный случай и был впервые рассмотрен французским математиком Лебегом. Функцию будем в этом случае обозначать символом . Семейство множеств L называется обычно семейством множеств, измеримых по Лебегу. Для таких множеств имеет смысл говорить об их площади. Если g есть конечное или счетное множество точек, то Точно так же, если g есть отрезок прямой или вся прямая, то . Если один и тот же промежуток А мы возьмем полуоткрытым, открытым или замкнутым, то во всех случаях имеет одно и то же значение. Если измеримое множество g имеет внутренние точки, то, очевидно, Можно показать, что существуют такие ограниченные открытые множества, что для границы такого множества замкнуто, а потому измеримо) мы имеем Для открытого множества есть сумма площадей тех промежутков, которые входят в формулу (21), причем эта сумма не зависит от способа представления О в виде суммы промежутков. Если - ограниченное замкнутое множество, то, покрывая его открытым промежутком мы можем определить как разность значений для двух открытых множеств, а именно,

Все построение семейства можно провести совершенно так же, как и выше, в любом конечномерном пространстве. В частном случае семейство L в трехмерном пространстве есть семейство множеств, имеющих определенный «объем», а в случае одного измерения — семейство множеств, имеющих определенную «длину». Вместо этого для пространства с любым конечным числом измерений часто говорят просто о мере множества, если оно входит в L.