76. Пример.

Мы укажем пример неубывающей непрерывной функции, которая не является абсолютно непрерывной и для которой в формуле (20) отсутствует второе, т. е. абсолютно непрерывное, слагаемое. Предварительно построим на промежутке [0,1] некоторое

замкнутое множество Разделив промежуток [0,1] точками на три равные части, удалим из него средний открытый промежуток каждый из оставшихся промежутков и разделим на три равные части: первый — точками и , а второй точками и Удалим затем из каждого из указанных промежутков их средние части, т. е. промежутки и каждый из оставшихся четырех промежутков

опять делим на три равные части и удаляем из каждого из четырех указанных промежутков открытый средний промежуток и т. д. Таким образом, окончательно мы удалим из промежутка [0,11 счетное число открытых промежутков, не имеющих попарно общих точек и даже общих концов:

т. е. удалим некоторое открытое множество и оставшееся множество, которое обозначим через будет замкнутым. На первом шаге удаляем один открытый промежуток длины на втором шаге — два промежутка длины на третьем шаге — промежутка длины и вообще на шаге промежутков длины . Таким образом, лебегова мера открытого множества равна

и оставшееся на промежутке [0,1] множество имеет, следовательно, меру нуль. Определим теперь на промежутке [0,1] функцию следующим образом. Положим

вообще положим равной на

последонательпых слева направо интервалах, которые мы удаляем на шаге. Таким образом, функция определена пока в точках множества и сохраняет постоянное значение на каждом из открытых промежутков (51), из которых состоит это множество. Определим ещё на концах [0,1] полагая . Принцип, по которому мы определили функцию на каждом из промежутков (52), состоит в следующем: мы полагаем на некотором промежутке множества получе тном на шаге, равной среднему арифметическому её значений на соседних промежутках, полученных ранее, или на концах промежутка [0,1], если с одной стороны взятого нового промежутка из ранее полученных промежутков множества Отсюда непосредственно следует, что неубывающая функция на множестве . Продолжим определение на . Пусть Так как имеет меру нуль, то в любой -окрестности есть точки и если точка по множеству стремится к слеча, то не убывает и имеет предел, который мы и примем за значение при Иначе говоря, предыдущее определение сводится к тому, что мы считаем равным точной верхней границе значений при меньших и принадлежащих . В точке это определение приводит, очевидно, к прежнему значению Таким образом, определенная на всем промежутке [0,1] функция, очевидно, не убывает. Нетрудно показать, что она непрерывна. Действительно, если она имеет точку разрыва то по крайней мере один из интервалов или не сводится к точке и не содержит внутри себя значений в силу монотонности этой функции. Но определённые выше, только на множестве значения заполняют промежуток [0,1] повсюду плотно, и мы пришли к нелепости, допуская разрывность Напомним, что на каждом из промежутков сохраняет постоянное значение. На основе неубывающей непрерывной функции можем построить вполне аддитивную неотрицательную функцию множеств определённую во всяком случае на множествах. В силу сказанного выше, и тем более равно пулю на всяком множестве, составляющем часть . Если возьмём промежуток то можем написать:

и, следовательно,

Первое слагаемое равно нулю в силу сказанного выше, а мера равна нулю, и, следовательно, сводится к одной сингулярной части [74]:

причём играет роль Н формулы (20) и — роль

Исследуем еще множество Непрерывная неубывающая функция принимает все вещественные значения от нуля до единицы. На каждом из исключённых промежутков, включая и его концы, сохраняет постоянное значение, причём множество исключённых промежутков счётно. Множество всех значений не счётно (имеет мощность континуума). Таким образом, очевидно, что содержит точки, отличные от концов исключенных промежутков. Можно показать, что имеет мощность континуума.