24. Функция ограниченной вариации на плоскости.

Рассмотрение функций ограниченной вариации на плоскости во многом аналогично предыдущему. Формулировки будут несколько иными, так как мы будем вести изложение не в терминах функции точки, а в терминах функции промежутков. Пусть — аддитивная и нормальная функция промежутков, определенная для всех промежутков (в общем смысле этого слова), принадлежащих некоторому основному промежутку . Эту функцию мы не предполагаем неотрицательной. Пусть — некоторое разбиение 8 промежутка на частичные промежутки. Составляем суммы

Определение. Если при всевозможных разбиениях множество значений ограничено, то функция называется функцией ограниченной вариации на промежутке а точная верхняя граница этих сумм называется полной вариацией или просто вариацией функции на промежутке . Мы ее будем обозначать символом . Свойства сумм и полной вариации совершенно аналогичны тем свойствам, о которых говорили в [8], и большинство из этих свойств приведем без доказательства.

Если есть продолжение подразделения , то . Если ограниченной вариации на то она ограниченной вариации и на любом промежутке А, принадлежащем причем . Любая неотрицательная или неположительная функция есть функция ограниченной вариации. Если промежуток А принадлежит , то имеет место неравенство

и функция ограниченной вариации в будет ограниченной (по абсолютной величине) для всех А, принадлежащих Всякая линейная комбинация функций ограниченной вариации есть функция ограниченной вариации. Справедлива теорема 3 из [8] о произведении и частном. Полная вариация (G) есть некоторая неотрицательная функция, определенная в . Повторяя доказательство теоремы 4 из [8], мы покажем, что аддитивна. Докажем, что функция есть нормальная функция на . Пусть есть исчезающая последовательность промежутков. Нам надо доказать, что . Пусть — заданное положительное число. Берем такое подразделение промежутка для которого

Для любого k из ряда чисел произведение есть исчезающая последовательность. В силу нормальности можно фиксировать такое значение что

Фиксируем любое Каждый промежуток подвергаем дальнейшему раздроблению так, чтобы было частичным промежутком. Пусть остальные частичные промежутки при этом раздроблении Таким образом, получится некоторое разбиение которое является продолжением разбиения , а, следовательно, для него и подавно справедливо неравенство (122), т. е.

В силу аддитивности V (А) и неравенства последнее неравенство дает нам

или

Принимая во внимание (123), получим

откуда, ввиду произвольности , и следует, что Таким образом, есть неотрицательная, аддитивная и нормальная функция промежутков на . Определяем, далее неотрицательные, аддитивные и нормальные функции по формулам

и получаем таким образом каноническое представление функции ограниченной вариации G (А) в виде разности двух неотрицательных, аддитивных и нормальных функций:

Если имеется какое-либо другое аналогичное представление:

то для любого А, принадлежащего имеем

Наоборот, если есть разность двух неотрицательных, аддитивных и нормальных функций, то G (А) — функция ограниченной вариации.

Если промежуток есть точка Р, то V (Р) совпадает с G (Р). Если то и , т. е. непрерывность в некоторой точке влечет за собой и непрерывность V (А) в той же точке. Для отрезков, параллельных осям, дело обстоит несколько сложнее. Истолкуем G (А) как количество зарядов, расположенных на промежутке А. Если на некотором отрезке прямой, параллельной одной из осей, расположены, например, с определенной линейной плотностью электрические заряды, общая сумма которых равна нулю, то . С другой стороны, мы будем иметь так как Дает общую сумму зарядов, причем все заряды берутся со знаком плюс.

Можно было бы определить аддитивную и нормальную функцию G (А) только на полуоткрытых промежутках и пользоваться разбиениями только на полуоткрытые промежутки. При этом мы смогли бы провести все приведенные выше рассуждения и пришли бы к формуле (125). Неотрицательные, аддитивные и нормальные функции полуоткрытых промежутков можно было бы распространить на всевозможные промежутки, и тем самым формула (126) дала бы нам распространение и заданной функции на всевозможные промежутки, и эта функция оказалась бы аддитивной, нормальной и ограниченной вариации для всевозможных промежутков.

Пользуясь каноническим представлением (145), можем определить интеграл по обычны образом:

Если имеется замкнутый промежуток то пользуясь выражением (115), можем определить функцию ограниченной вариации и полную вариацию так же, как и в [8], исходя из сумм