216. Матрицы и операторы.

Мы исследуем связь между матрицами и симметричными операторами в гильбертовом пространстве Н. Положим сначала, что в этом пространстве задан ограниченный самосопряженный оператор А, и пусть какая-либо полная ортогональная нормированная система элементов из Н. Определяя формулой

элементы некоторой матрицы а, мы имеем:

где составляющие некоторого элемента и — составляющие преобразованного элемента, т. е. Таким образом при определённом выборе ортов оператор А выражается матрицей согласно формулам (192). Если мы выберем другую систему ортов и U есть унитарное преобразование такое, что причём то оператору А будет соответствовать матрица с элементами

причём мы использовали обобщённое уравнение замкнутости из [121]. Принимая во внимание введённые выше обозначения, можем написать:

Если мы применим эту формулу к перейдём к сопряжённым величинам и в правой части заменим букву s на t и на s, то получим:

Совершенно аналогично будем иметь:

Наоборот, если задана матрица а удовлетворяющая условию ограниченности [163], и фиксирована система ортов в то формулы (192) определяют ограниченный самосопряженный в Н оператор А. При этом столбец матрицы дает составляющие преобразованного

элемента, полученного из орта так что мы можем написать:

Более сложной представляется связь между матрицами и неограниченными операторами. В дальнейшем матрицы, удовлетворяющие условию симметрии и условию (179), назовем С-матрицами. Пусть имеется замкнутый симметричный оператор F с линеалом D(F), плотным в Н. Выбираем полную ортогональную нормированную систему элементов так, чтобы все принадлежали и определяем по формулам (191) с заменой А на F элементы матрицы . В силу симметричности оператора F и уравнения замкнутости можем утверждать, что есть С-матрица. Применяя к скалярному произведению обобщенное уравнение замкнутости, причем считается, что получим:

т. е. оператор F выражается формулами (192) в ортах Линеал D(F) содержит, очевидно, все „конечные элементы", т. е. все конечные линейные комбинации ортов, и, поскольку оператор А, определенный в [214] на основе матрицы является замыканием оператора А, определенного формулами (192) на линеале „конечных элементов, мы можем утверждать, что : следовательно, т. е. F также определяется формулами (192) на соответствующем линеале . Если F есть расширение А, то, в силу теоремы 1 из [186], есть лишь часть D (В), определенного нами в [214]. В данном случае одна и та же матрица дает различные операторы.

Если вместо мы примем другую систему ортов , также принадлежащую D(F), то оператор F выразится матрицей причем, как и выше, будут иметь место формулы (192) и (197) с заменой на Положим теперь, что задан не оператор, матрица Выбираем произвольную систему ортов из Н и определяем оператор А формулами (192) или (197) на линеале „конечных элементов". Замыкание А приводит нас к некоторому замкнутому симметричному оператору А. Будем говорить, что оператор А порожден матрицей и системой ортов и будем писать: Оказывается, что таким образом можно получить любой симметричный замкнутый в Н оператор.

Теорема. Аюбой симметричный замкнутый оператор плотной в Н, может быть порождён некоторой С-матрицей и системой ортов

Достаточно построить соответствующие орты из D(А). Матрица определится формулой (191). Эти орты должны обладать следующим свойством: для всякого из D(А) существует такая последовательность «конечных элементов», что и Для получения таких достаточно построить такую последовательность из что для любого из D(А) существует такая подпоследовательность что и Ортогонализация и приведёт, очевидно, к причём из а и того, что D(А) плотно в , следует, что последовательность плотна в так что система ортов полная. Переходим к построению Берём какую-нибудь последовательность элементов плотных в

Пусть — какая-либо тройка целых положительных чисел. Если существует хоть один такой элемент из D(А), что то указанной тройке мы сопоставляем один из таких элементов и обозначаем его Эти элементы можно, очевидно, пронумеровать [1], и мы покажем, что они обладают требуемыми от свойствами.

Пусть заданное положительное число. Выбираем , удовлетворяющее неравенству и элементы так, чтобы что возможно, ибо плотны в Н. При этом существует элемент такой, что откуда, принимая во внимание, что

и что получаем: Отсюда, ввиду произвольности с, и следует, что обладают свойством, которым мы выше охарактеризовали последовательность теорема доказана.

Один и тот же замкнутый симметричный оператор может быть порождён различными матрицами и ортами. Если то, вводя унитарный оператор U, указанный выше, и полагая получим формулы (194), (195) и (196). Отметим ещё, что если - заданный симметричный замкнутый оператор, система ортов принадлежит матрица, определяемая формулой (191) при замене А на F, и то F или совпадает с А или является расширением А, как это мы видели выше.