114. Теоремы вложения.

Мы переходим теперь к подробному изучению свойств функций пространства и установим зависимость между поведением функций и их производных в самой области и на ее сечениях различных размерностей. В связи с этим мы получим ряд важных неравенств и на их основе рассмотрим вопрос об эквивалентных нормировках пространства Совокупность этих результатов обычно называют „теоремами вложения" С. Л. Соболева. В настоящем параграфе мы приведем формулировки упомянутых теорем.

Будем считать, что D — звездна относительно всех точек некоторого шара КУ лежащего внутри или что D можно разбить гладкими поверхностями на конечное число областей такого типа.

Для областей указанного типа доказывается, что если имеет в D все обобщенные производные порядка 1, причем и эти производные принадлежат то имеет все обобщенные производные до порядка причем они также принадлежат . Другими словами, класс функций вкладывается в класс при а также в класс . Отсюда, между прочим, вытекает, что для областей упомянутого выше вида классы состоят из одних и тех же функций. Условимся для краткости обозначать

Доказывается, что имеет место неравенство

где А — положительная постоянная, не зависящая от выбора Неравенство (152) показывает, что нормы пространств эквивалентны. В дальнейшем мы можем не различать пространства . Высказанные утверждения содержатся как частные случаи в более общих теоремах, к формулировке которых мы переходим.

Указанные выше утверждения и теоремы, которые мы формулируем ниже, будут доказаны в [115—118].

Предварительно введем пространство (D) функций непрерывных в D и имеющих все производные до порядка l включительно также непрерывные в причем норма в этом пространстве определяется следующим образом:

где - любая производная порядка k и максимум берется по и по всевозможным производным до порядка Напомним, что непрерывность какой-либо производной в D понимается следующим образом: имеет внутри D непрерывную производную и эту последнюю можно доопределить на границе так, что получится функция, непрерывная в D. Вместо указанной выше нормы в можно ввести эквивалентную норму по формуле

Пространство есть, очевидно, полное пространство типа В. Пространство мы, как и раньше, будем обозначать

Теорема 1. Если то всякая функция эквивалентна функции из и

где М — постоянная. зависящая только от области D. Всякое множество U, ограниченное в компактно в .

Теорема 2. Если то всякая функция эквивалентна такой функции которая определена почти везде на сечении области D любой плоскостью размерности причем суммируема на с любой степенью q, которая удовлетворяет неравенству

и

где М — постоянная, зависящая только от области D и сечения Кроме того, при любом заданном существует одно и то же для всех нормы которых в не превышают любого фиксированного числа, такое, что

если и точки принадлежат D. Из сказанного вытекает, что множество, ограниченное в компактно в

Отметим, что за мы можем брать как полное, так и неполное плоское -мерное сечение а также -мерную область, входящую в . Если то в последней теореме q можно брать любое,

большее единицы. При правая часть (154) больше единицы. Теорема остается справедливой, если плоскость заменить гладкой поверхностью.

Замечание. Согласно теореме 1 всякая функция при оказывается и функцией из , т. е. из она вкладывается в . Согласно (153) оператор вложения, сопоставляющий каждой функции из ее же, но как элемент оказывается ограниченным оператором, а последнее утверждение теоремы сводится к тому, что этот оператор является и вполне непрерывным оператором. Аналогичное замечание можно привести и для теоремы 2. Укажем еще на некоторые следствия теорем вложения. Если и целое число удовлетворяет неравенству то любая непрерывно дифференцируема в D до порядка причем функции при эквивалентны соответствующим непрерывным в D производным от и существует такое положительное число А, зависящее только от D, что

Отсюда следует, что при есть часть пространства функций, непрерывно дифференцируемых в до порядка: (часть пространства ). Если

то на всяком достаточно гладком -мерном многообразии

и существует такое положительное число зависящее только от D и что

Во всех перечисленных случаях соответствующие операторы вложения вполне непрерывны.

Теоремы 1 и 2 позволяют построить различные нормы в эквивалентные основной норме (145) или (138). Более общий результат в этом направлении дает следующая теорема 3.

Теорема 3. Пусть линейные ограниченные в функционалы таковы, что они не обращаются

одновременно в нуль ни на одном отличном от тождественного нуля полиноме степени не выше Тогда формула

определяет норму, эквивалентную основной норме (144) или (138).

Отметим предварительно, что, в силу сказанного в 1112), норма (160) эквивалентна, например, норме

и другим аналогичным выражениям.

Приведем некоторые примеры эквивалентных норм в пространстве Из теоремы 3 следует, что в можно задать норму формулой

Действительно, функционал линеен в в силу неравенства

и ни при какой постоянной (здесь обозначает меру области D).

Из теоремы 2 вытекает, что норма

эквивалентна норме (138) при всяком , удовлетворяющем условию можно брать любое . Если же , то также можно брать любое или даже заменять второе слагаемое формулы (163) на . Такое же замечание относится и к последующей формуле (164). Читатель легко проверит, что выражение

где - какое-либо гладкое многообразие измерения, лежащее в и показатель q удовлетворяет условию также определяет норму, эквивалентную норме (138). Аналогичные соображения приводят к разнообразным эквивалентным нормировкам пространства при .